Аппроксимация распределений

ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ ТЕОРИИ ОЧЕРЕДЕЙ

Ю. И. Рыжиков (Санкт-Петербург)

Современная теория очередей по необходимости исследует сложные математические модели при весьма общих допущениях, что определяет и сложность полученных результатов. В связи с этим особую ценность приобретают численные методы теории очередей. Их теоретическими основами являются:

· аппроксимация исходных распределений интервалов между заявками и длительностей обслуживания более удобными для расчетов;

· «законы сохранения» (см. доклад того же автора о роли имитации в компьютерном моделировании);

· потокоэквивалентная декомпозиция сетей обслуживания.

Аппроксимация распределений

В качестве аппроксимирующих применяются:

· фазовые распределения с показательно распределенными задержками в фазе (эрлангово, гиперэкспоненциальное, коксово) – для расчета распределений вероятностей состояний сложных систем;

· гамма-распределение – для вычисления необходимых во многих задачах распределений числа заявок пуассоновского потока за случайный интервал времени;

· распределение Вейбулла – для построения функции распределения времени пребывания заявки в системе (это основной показатель, интересующий заказчика оперативных систем с повышенной ролью фактора времени) по ее моментам. Кроме того, распределение Вейбулла полезно при исследовании многоканальных систем (в этом случае ДФР времени освобождения хотя бы одного канала будет иметь распределение того же типа с пересчитанным масштабным параметром).

Приведем пример диаграммы одного из фазовых распределений:

Рис. 1. Двухфазное распределение Кокса

Соответственно можно нарисовать диаграмму переходов между микросостояниями системы по завершению обслуживания, длительность которого подчинена распределению Кокса:

Рис. 2. Диаграмма переходов в системе M/C2/3 по завершению обслуживания

Последовательные ярусы этой диаграммы соответствуют возрастающему числу заявок в системе (верхний – нулю). При числе заявок более трех (число каналов) остальные заявки ждут очереди, и набор «ключей» микросостояний, задающих расстановку обслуживаемых заявок по фазам обслуживания, меняться перестает.

Покажем далее использование гамма-распределения. В этом случае интегралы

элементарно вычисляются рекуррентно. Прежде всего, Заметим, что

это выражение можно рассматривать как ПЛС от распределения, аппроксимированного гамма-плотностью. Далее,

Таким образом, здесь даже не приходится вычислять гамма-функцию.