Абсолютная погрешность

9 Практическое применение относительной погрешности Относительная погрешность d — это отношение абсолютной погрешности измерения к истинному значению измеряемой величины

10 Способы хранения цифр в памяти ЭВМ.

Память ЭВМ, совокупность технических устройств и процессов, обеспечивающих запись, хранение и воспроизведение информации в ЭВМ. Память — основная часть любой вычислительной системы или отдельной вычислительной машины, она реализуется аппаратурно — в виде комплекса взаимосвязанных запоминающих устройств

Существуют два способа представления чисел в памяти ЭВМ. Они называются так: форма с фиксированной точкой и форма с плавающей точкой. Форма с фиксированной точкой применяется к целым числам, форма с плавающей точкой — к вещественным числам (целым и дробным). Под точкой здесь подразумевается знак-разделитель целой и дробной части числа.

11 Погрешности арифметических действий

Погрешность суммы или разности, очевидно, равна сумме или разности этих чисел. Например, если , то (a и b заменяют точные A и B в вычислениях). Полученное приближенное число с содержит ошибку

.

При сложении n приближенных чисел имеем: ,

где - приближенные числа, которые могут как складываться, так и вычитаться. Очевидно, что погрешность подчиняется той же формуле: .

Абсолютной ошибкой будет модуль (абсолютное значение) этой величины

.

12 Метод половинного деления.

Метод половинного деления известен также как метод бисекции. В данном методе интервал делится ровно пополам.

Такой подход обеспечивает гарантированную сходимость метода независимо от сложности функции - и это весьма важное свойство. Недостатком метода является то же самое - метод никогда не сойдется быстрее, т.е. сходимость метода всегда равна сходимости в наихудшем случае.

Метод половинного деления:

1. Один из простых способов поиска корней функции одного аргумента.

2. Применяется для нахождения значений действительно-значной функции, определяемому по какому-либо критерию (это может быть сравнение на минимум, максимум или конкретное число).

13 Метод хорд

Метод секущих — итерационный численный метод приближённого нахождения корня уравнения.

Метод хорд иногда называют способом пропорциональных частей. Данный способ является более быстрым способом нахождения корня уравнения F(x) = 0 (1) на отрезке [a, b], чем метод деления отрезка пополам

14 Метод касательных

Метод Ньютона, алгоритм Ньютона (также известный как метод касательных) — это итерационный численный метод нахождения корня (нуля) заданной функции. Поиск решения осуществляется путём построения последовательных приближений и основан на принципах простой итерации. Метод обладает квадратичной сходимостью. Улучшением метода является метод хорд и касательных. Также метод Ньютона может быть использован для решения задач оптимизации, в которых требуется определить нуль первой производной либо градиента в случае многомерного пространства.

19) Метод Гаусса

Ме́ тод Га́ усса ^[1] — классический метод решения системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ). Это метод последовательного исключения переменных, когда с помощью элементарных преобразований система уравнений приводится к равносильной системе треугольного вида, из которой последовательно, начиная с последних (по номеру), находятся все переменные системы

20) Вычисление определителей методом Гаусса.

применим метод Гаусса для вычисления определителя ∆. При решении системы уравнений:

Ax = b

методом Гаусса мы путём преобразования по схеме единственного деления привели её к треугольному виду:

B x = β,

где
Определитель detB = 1.
Элементы матрицы B получились из матрицы A с помощью следующих элементарных преобразований:
1) деления на ведущие элементы a₁₁ матрицы A, матрицы ,..., матрицы A_n-1.
2) вычитания из строк матрицы A и промежуточных матриц чисел, пропорциональных элементам соответствующих ведущих строк.
При первой операции определитель матрицы также делится на соответствующий ведущий элемент, т.е.
.
Следовательно:
,
т.е. определитель равен произведению ведущих элементов для соответствующей схемы Гаусса.
При второй операции определитель не изменится.

21) Применение метода Гаусса для вычисления обратной матрицы.

Наиболее эффективно вычислять определители и обращать матрицы в рамках метода Гаусс. Известно, что определитель треугольной матрицы равен произведению ее диагональных элементов:

.

В алгоритме, предложенном в п.1, необходимо перемножать найденные ведущие элементы. При этом из алгоритма надо изъять обратный ход и учесть, что при перестановке двух строк определителя он меняет свой знак на противоположный.

Для получения обратной матрицы A ^-1, обратной к матрице A, будем исходить из того, что она является решением матричного уравнения

A X = E

где E - единичная матрица. Рассматриваем двухблочную матрицу

,

где левый блок заполняет матрица A, в правый единичная матрица E. Необходимо, с помощью элементарных преобразований привести матрицу к единичной матрице. После этого единичная матрица переходит в A ^-1.

27) Интерполяция

Интерполя́ ция, интерполи́ рование — в вычислительной математике способ нахождения промежуточныхзначений величины по имеющемуся дискретному набору известных значений.

Многим из тех, кто сталкивается с научными и инженерными расчётами, часто приходится оперировать наборами значений, полученных опытным путём или методом случайной выборки. Как правило, на основании этих наборов требуется построить функцию, на которую могли бы с высокой точностью попадать другие получаемые значения. Такая задача называется аппроксимацией. Интерполяцией называют такую разновидность аппроксимации, при которой кривая построенной функции проходит точно через имеющиеся точки данных.

28) Экстраполяция

Экстраполя́ ция, экстраполи́ рование (от лат. extrā — вне, снаружи, за, кроме и лат. polire — приглаживаю, выправляю, изменяю, меняю^[1]) — особый тип аппроксимации, при котором функция аппроксимируется вне заданного интервала, а не между заданными значениями.

Иными словами, экстраполяция — приближённое определение значений функции в точках , лежащих вне отрезка , по её значениям в точках .

59) Решение линейных уравнений с помощью ЭВМ.

В практической деятельности человека, в различных областях наук широко применяются системы линейных уравнений. Без них не обходятся и в метеорологии, и в медицине, и в технике. Этим и обуславливается мой интерес к этой теме.

Система m линейных алгебраических уравнений с n неизвестными в линейной алгебре - это система уравнений вида:

.

Здесь m - количество уравнений, а n - количество неизвестных. x₁, x₂, …, x_n- неизвестные, которые надо определить. a₁₁, a₁₂, …, a_mn – коэффициенты при неизвестных системы, b₁, b₂, … b_m - свободные члены. Индексы коэффициентов (a_ij) системы обозначают номера уравнения (i) и неизвестного (j), при котором стоит этот коэффициент, соответственно.

Решение системы m линейных алгебраических уравнений с n неизвестными - это совокупность n чисел (c₁; c₂; …; c_n ) таких, что подстановка каждого c_i вместо x_i в систему обращает все её уравнения в тождества.

Система линейных уравнений может быть представлена в матричной форме:

.

Системы m линейных алгебраических уравнений с n неизвестными решаются различными методами.

Прямые (или точные) методы позволяют найти решение за определённое количество шагов. Итерационные методы основаны на использовании повторяющегося процесса и позволяют получить решение в результате последовательных приближений.