Геометрическое представление сигналов

Сигнал может быть представлен наглядно на основе геометрической интерпретации. Запишем его в виде ряда Котельникова (некоторая разновидность ряда Фурье).

Ряд Котельникова отличается тем, что его коэффициенты разложения представляют собой эффективные (а не амплитудные) значения гармоник ряда. Кроме того, в нем учитывается конечное число компонент спектра, т.к. любой радиоприемник обладает конечной полосой пропускания.

Итак, ряд Фурье имеет вид

Ряд Котельникова:

.

Не трудно показать, что

Верхняя и нижняя частоты спектра

Число гармоник . Коэффициент 2 перед скобкой, т.к. каждой частоте соответствуют синусная и косинусная составляющие

.

Сигнал с длительностью и спектром характеризуется независимыми значениями.

Если обозначить

то ряд Котельникова можно выразить в виде

Полученное выражение можно рассматривать как радиус-вектор в многомерном пространстве.

Из векторной алгебры известно, что (рис. 4.2)

,

Рис. 4.2

где , , - проекции вектора А на оси ОХ, ОУ, ОZ (скаляры вектора А),

i, j, k – орты (единичные векторы, определяющие направления).

Из определения скалярного произведения двух векторов

следует, что скалярное произведение ортов друг на друга равно нулю, а орта самого на себя равно единице

Скалярное произведение двух функций A(t) и B(t) есть среднее значение их произведения в интервале времени [-T/2; T/2], т.е.

Если произведение А(t) B(t) = 0, то функции А(t) и B(t) называются ортогональными.

Сигнал S(t) можно представить некоторым радиус-вектором m-мерного пространства или точкой, соответствующей концу этого вектора.

Проекции радиус-вектора на координатные оси определяются значениями коэффициентов C_k. Число таких проекций m = 2 . Т.к. сигналы являются функциями времени, то соответствующие им векторы в многомерных пространствах (их концы) описывают линии, называемые линиями сигналов.

Скалярное произведение сигнала самого на себя есть средняя мощность сигнала, которую он развивает на сопротивлении в 1 ом

.

Эффективное значение

Средняя удельная энергия сигнала

Если для ряда сигналов

выполняется условие

то такие сигналы называются ортогональными.