Геометрический метод

Пусть в пространстве на задана функция , причём , хотя бы один раз и на имеет . Разобьём на n частей, т.е. :

, где - длина приращения при равномерном распределении. Поместим область, ограниченную и осью абсцисс в прямоугольник со сторонами , где d и c – точки на оси ординат, причём Разобьём на k частей, т.е. :

, где - длина приращения при равномерном распределении. При данных разбиениях и получили (n+1)(k+1) точек. Рассмотрим способ нахождения площади под графиком функции при данном распределении точек. Так как эта площадь есть какая-то часть площади прямоугольника, то скажем, что эта часть есть вероятность попадания этих точек в саму область под графиком функции и на её границу. Пусть попавших точек будет m, где

, тогда

где - площадь прямоугольника.

Пример: численно вычислить интеграл

Решение

Сначала вычислим интеграл с помощью формулы Ньютона-Лейбница.

Пусть n=3, k=2, c=0, d=4, то

– площадь выбранного прямоугольника,

(n+1)(k+1) = 12 – общее количество точек,

Разбиение : 2, , , 4, разбиение : 0, 2, 4, тогда получаем точки

(2, 0), (2, 2), (2, 4), (, 0), (, 2), (, 4), (, 0), (, 2), (, 4), (, 0), (, 2), (, 4), из них попадают в область (2, 0), (2, 2), (, 0), (, 2), (, 0), (, 2), (, 0), (, 2) – 8 точек, тогда

Из полученного результата мы видим достаточно большую погрешность, погрешность до достигается при достаточно большом количестве точек, например 9000, где n=100, k=900. Это показывает, что данный метод не очень удобен из-за достаточно медленной сходимости.

Вычисление кратных интегралов в пространстве