Определитель n-ого порядка

Элементарные сведения о перестановках

Рассмотрим n целых чисел 1, 2, 3,..., n. Их можно расположить в различном порядке. Возможные расположения этих чисел называются перестановками. Перестановки (1, 2, 3,.., n), в которых числа идут в порядке возрастания называются натуральными.

Тот факт, что большее число стоит перед меньшим называется беспорядком (или инверсией). Например в перестановке (3 1 2 4) имеются два беспорядка: число 3 стоит перед числами 1 и 2.

Определим еще число инверсий в перестановках: (1 2 3) – 0; (1 3 2) – 1; (2 1 3) – 1; (2 3 1) – 2; (3 1 2) – 2; (3 2 1) – 3.

Число инверсий в перестановке может быть четным либо нечетным. Перестановки с четным числом инверсий называются четными, перестановки с нечетным числом инверсий называются нечетными, обмен местами двух элементов в перестановке называется транспозицией. Транспозиция переводит одну перестановку в другую. Совершив несколько транспозиций можно из одной перестановки получить любую другую. Одна транспозиция меняет четность перестановки.

Определители

Определитель n-ого порядка

Рассмотрим таблицу А, состоящую из n² чисел

.

Определителем (детерминантом) n-го порядка называется число, получаемое из элементов данной таблицы по следующему правилу:

1) определитель n-го порядка равен алгебраической сумме n! членов;

2) каждый член представляет собой произведение n элементов, взятых по одному из каждой строки и каждого столбца таблицы;

3) член берется со знаком плюс, если перестановки, образованные первыми и вторыми индексами элементов a_ij, входящими в произведение, одинаковой четности (либо обе четные, либо обе нечетные) и со знаком минус в противоположном случае.

Определитель обозначается символом

Согласно этому определению, например, определитель второго порядка равен

,

а определитель третьего порядка равен

.

Введем величину P(α ₁, α ₂, … α _n) =

1, если (α _1, α ₂,., α _n) – нечетная перестановка;

= 2, если (a_1, a₂,., a_n) – четная перестановка

и для обозначения суммы воспользуемся знаком Σ.

Тогда

.

Здесь суммирование распространяется на все перестановки (α ₁, α ₂, … α _n) из n чисел 1, 2,..., n, что условно обозначается символом n!, стоящим под знаком Σ. Если перестановка из вторых индексов произведения четная, то (-1) P(α ₁, α ₂, … α _n) =1, и соответствующий член входит в сумму (1.1) со знаком «+». Если перестановка нечетная, то (-1) P(α ₁, α ₂, … α _n) = -1, и член входит в сумму (1.1) со знаком «-».

Например, для определителя третьего порядка можно записать, что

.

Суммой нескольких строк определителя называется строка, каждый элемент которой равен сумме соответствующих элементов этих строк. Произведением строки на число называется строка, каждый элемент которой равен соответствующему элементу данной строки, умноженному на это число.

Линейной комбинацией нескольких строк определителя называется строка, равная сумме произведений этих строк на некоторые числа.

Имеем определитель n-го порядка (n> 1). Минором M_ij элемента a_ij определителя называется определитель n-1-го порядка, полученный из вычеркиванием i-ой строки и j-ого столбца, на пересечении которых стоит данный элемент a_ij.

Алгебраическим дополнением элемента a_ij называется число .