Материальные уравнения

Материальные уравнения устанавливают связь между и . При этом учитываются индивидуальные свойства среды. На практике в материальных уравнениях обычно используются экспериментально определяемые коэффициенты (зависящие в общем случае от частоты электромагнитного поля), которые собраны в различных справочниках физических величин^].

В слабых электромагнитных полях, сравнительно медленно меняющихся в пространстве и во времени, в случае изотропных, неферромагнитных и несегнетоэлектрических сред справедливо приближение, в которомполяризуемость и намагниченность линейно зависят от приложенных полей:

где введены безразмерные константы: — диэлектрическая восприимчивость и — магнитная восприимчивость вещества (в системе единиц СИ эти константы в раз больше, чем в гауссовой системе

В проводниках существует связь между плотностью тока и напряжённостью электрического поля, выражаемая законом Ома:

где — удельная проводимость среды (в единицах СИ — Ом^{− 1}•м^{− 1}).

В анизотропной среде , и являются тензорами , и . В системе координат главных осей они могут быть описаны диагональными матрицами. В этом случае, связь между напряжённостями полей и индукциями имеют различные коэффициенты по каждой координате. Например, в системе СИ:

Хотя для широкого класса веществ линейное приближение для слабых полей выполняется с хорошей точностью, в общем случае зависимость между и может быть нелинейной. В этом случае проницаемости среды не являются константами, а зависят от величины поля в данной точке. Кроме того, более сложная связь между и наблюдается в средах с пространственной или временной дисперсиями. В случае пространственной дисперсии токи и заряды в данной точке пространства зависят от величины поля не только в той же точке, но и в соседних точках. В случае временной дисперсии поляризация и намагниченность среды не определяются только величиной поля в данный момент времени, а зависят также от величины полей в предшествующие моменты времени. В самом общем случае нелинейных и неоднородных сред с дисперсией, материальные уравнения в системе СИ принимают интегральный вид:

Аналогичные уравнения получаются в гауссовой системе СГС (если формально положить ).

8.Малые напряжения и малые деформации.

Деформация называется упругой, если после того, как на тело перестали действовать внешние силы тело восстанавливает первоначальные размеры и форму. Деформации, сохраняющиеся в теле после прекращения действия внешних сил, называются пластическими (или остаточными). На практике деформации тела всегда пластические, поскольку они после прекращения действия внешних сил никогда полностью не исчезают. Но если остаточные деформации малы, то ими можно пренебречь и считать данные деформации упругими деформации. В теории упругости доказывается, что все виды деформаций (растяжение или сжатие, изгиб, сдвиг, кручение) могут быть сведены к композиции (одновременному действию) деформаций растяжения или сжатия и сдвига

Рассмотрим однородный стержень длиной l и площадью поперечного сечения S (рис. 1), к концам которого приложены направленные вдоль его оси силы F₁ и F₂ (F₁=F₂=F), из-за чего длина стержня изменяется на величину Δ l

Естественно, что при растяжении Δ l положительно, а при сжатии отрицательно.
Сила, действующая на единицу площади поперечного сечения, называется напряжением:

(1)

Если сила направлена по нормали к поверхности, напряжение называется нормальным, если же по касательной к поверхности - тангенциальным.
Количественной мерой, которая характеризует степень деформации, испытываемой телом, есть его относительная деформация. Так, относительное изменение длины стержня (продольная деформация)

(2)

относительное поперечное растяжение (сжатие)

где d - диаметр стержня.

Деформации ε и ε ' всегда имеют разные знаки (при растяжении Δ l положительно, a Δ d отрицательно, при сжатии Δ l отрицательно, a Δ d положительно). Из опыта известна взаимосвязь ε и ε ':

где μ - положительный коэффициент, зависящий от свойств материала и называемый коэффициентом Пуассона.

Английский физик Р. Гук (1635-1703) экспериментально установил, что для малых деформаций относительное удлинение ε и напряжение σ прямо пропорциональны друг другу:

(3)
где коэффициент пропорциональности Е называется модулем Юнга. Из формулы (3) замечаем, что модуль Юнга определяется напряжением, действие которого делает относительное удлинение, равное единице. Из формул (2), (3) и (1) следует, что

или (4)

где k - коэффициент упругости. Выражение (4) также выражает закон Гука для одномерного случая, согласно которому удлинение стержня при упругой деформации пропорционально действующей на стержень силе.

29. Интеграл Зоммерфельда

Сферическую волну можно представить в виде наложения большого числа однородных и неоднородных плоских волн. Аналитически такая суперпозиция плоских волн определяется интегралом Зоммерфельда. Для гармонической сферической волны, характеризуемой функцией вида: интеграл Зоммерфельда виглядит так:

Где волновое число для координатных направлений Кх, Ку, Кz являются переменными интегрирования.

Когда сумму k ограничена, то рассматриваются однородные плоские волны. Если эта сумма неограниченно возрастает, одну из переменных принимают мнимой величиной, что влечет за собой необходимость рассмотрения неоднородных волн.