Метод касательных (метод Ньютона). Пусть действительный корень уравнения изолирован на отрезке

Пусть действительный корень уравнения изолирован на отрезке . Будем предполагать, что все ограничения, сформулированные выше относительно , сохраняют силу и в этом случае. Возьмем на отрезке такое число при котором имеет тот же знак, что и т.е. (в частности, за может быть принят тот из концов отрезка , в котором соблюдено это условие). Проведем в точке касательную к кривой . За приближенное значение коря примем абсциссу точки пересечения этой касательной с осью . Это приближенное значение корня находим по формуле

Применив этот прием вторично в точке найдем

и т.д. Полученная таким образом последовательность имеет своим пределом искомый корень.

Для оценки погрешности приближенного значения корня, найденного методом Ньютона, может быть использовано неравенство