Правило лопиталя стр 34.

43. Теорема Ферма. (О равенстве нулю производной)

Пусть функция удовлетворяет следующим условиям:

1. она дифференцируема на интервале ;

2. достигает наибольшего или наименьшего значения в точке .

Тогда производная в этой точке равна нулю, то есть . Следствие. (Геометрический смысл теоремы Ферма)В точке наибольшего и наименьшего значения, достигаемого внутри промежутка, касательная к графику функции параллельна оси абсцисс.

44. Условия монотонности функции на интервалеРассмотрим сначала достаточные условия строгой монотонности функции на интервале. Теорема. Для того чтобы дифференцируемая на интервале (a; b) функция возрастала (убывала) на этом интервале достаточно, чтобы производная была положительной (отрицательной) всюду на этом интервале.Доказательство. Рассмотрим случай, когда . Пусть x1 и x2 - любые две точки интервала (a; b), удовлетворяющие условию . На отрезке функция дифференцируема, а, следовательно, непрерывна. Поэтому к ней можно применить формулу Лагранжа: , где .По условию . Поэтому или , т.е. функция возрастает на интервале (a; b). Случай, когда , рассматривается аналогично.

45. Теорема (первое достаточное условие экстремума в терминах первой производной) Пусть функция f(x) дифференцируема в некоторой окрестности точки x_{0}, кроме, быть может, самой точки x_{0} и непрерывна в этой точке. Тогда: Если производная меняет знак с «-» на «+» при переходе через точку : и , то — точка строго минимума функции Если производная меняет знак с «+» на «-» при переходе через точку : и , то — точка строго максимума функции Доказательство: Пусть, например, меняет знак с «-» на «+». Рассмотрим точку на сегменте Воспользуемся теоремой о конечных приращениях Лагранжа: , . Поскольку при переходе через точку функция меняет знак с «-» на «+», то и , то
Аналогично рассмотрим сегмент , получим
— точка строгого минимума функции. Замечания: Если — точка строго экстремума, то из этого не следует, что производная меняет знак при переходе через точку

Теорема (второе достаточное условие строгого экстремума в терминах второй производной) Пусть дана функция , ее первая производная и пусть , тогда: Если , то точка — точка строгого минимума; Если , то точка — точка строгого максимума. Доказательство: Докажем теорему для первого случая, когда . По скольку непрерывна, то на достаточно малом интервале , т.к , то возрастает в этом интервале. , значит на интервале и на интервале . Таким образом функция убывает на интервале и возрастает на интервале по первому достаточному условию экстремума функция в точке имеет минимум. Аналогично доказывается второй случай теоремы. Замечания: Если и , то функция может и не иметь экстремум в точке