Метод вирішення рівнянь сталого стану електричної системи.

Метод вирішення лінійних рівнянь сталого режиму можна розділити на дві групи:

Точні (прямі) і ітераційні (приблизні).

Точними або прямими методами називають такі, які дозволяють отримати точні значення невідомих в результаті кінцевої кількості операцій. При цьому передбачається, що всі розрахунки ведуться точно, без округлень. Відносяться: метод Гаусса і вирішення лінійних рівнянь сталого режиму з допомогою зворотної матриці.

Ітераційними методами називаються такі, які дозволяють отримати рішення системи з заданою точністю. Точне рішення може бути отримане теоретично як нескінченний ітераційний процес. Відносяться: проста ітерація і метод Зейделя. Проблемою застосування цих методів є збіжність (сходимость).

1 Метод Гаусса (метод послідовного виключення)

Це найбільш розповсюджений спосіб вирішення системи лінійних рівнянь сталого стану EC. Існує декілька алгоритмів реалізації методу Гаусса. Розглянемо алгоритм єдиного ділення (алгоритм зворотнього ходу): хай стан системи залишується такою системою вузлових рівнянь:

Розділивши 1 рівняння системи (1) на Y₁₁ отримуємо:

де

Тепер, користуючись рівнянням (2) виключимо невідоме U₁ із рівняння системи (1). Для цього необхідно рівняння (2) помножити на Y₂₁ і Y₃₁ і відняти отримані результати із 2 і 3 рівнянь системи (1). В результаті отримуємо систему двох рівнянь з двома невідомими:

Де коефіцієнти , визначаються по формулах:

із отриманої системи (3) аналогічно можна виключити змінну U₂. Для цього розділяємо коефіцієнти першого рівняння системи (3) на Y₂₂ і отримуємо:

де

потім перемножимо (5) на і віднімемо результат із другого рівняння системи (3):

або

де:

Таким чином, вихідна система (1) приведена до еквівалентної системи з трикутною матрицею:

Із системи (8) послідовно знайдемо:

Рішення по методу Гаусса розкладається на 2 етапи:

- Прямий хід – приведення системи (1) до системи (8)

- Зворотній хід – розрахунок невідомих по системі (9).

Переваги методу Гаусса:

- скорочення кількості арифметичних операцій через симетричність матриці провідностей Y.

- гарантоване отримання рішення в результаті виконання визначеної кількості арифметичних операцій, яке визначається порядком системи n.

Недоліки:

- необхідність перерахувати матрицю коефіцієнтами системи рівнянь.

- необхідність використання великого об’єму пам’яті ЕОМ.