Элементы логической символики

Запись ∀ x: |x|< 2 → x² < 4 означает: для каждого x такого, что |x|< 2, выполняется неравенство x² < 4.

Квантор

При записи математических выражений часто используются кванторы.

Квантором называется логический символ, который характеризует следующие за ним элементы в количественном отношении.

§ ∀ - квантор общности, используется вместо слов " для всех", " для любого".

§ ∃ - квантор существования, используется вместо слов " существует", " имеется". Используется также сочетание символов ∃!, которое читается как существует единственный.

Операции над множествами

Два множества А и В равны (А=В), если они состоят из одних и тех же элементов.
Например, если А={1, 2, 3, 4}, B={3, 1, 4, 2} то А=В.

Объединением (суммой) множеств А и В называется множество А ∪ В, элементы которого принадлежат хотя бы одному из этих множеств.
Например, если А={1, 2, 4}, B={3, 4, 5, 6}, то А ∪ B = {1, 2, 3, 4, 5, 6}

Пересечением (произведением) множеств А и В называется множество А ∩ В, элементы которого принадлежат как множеству А, так и множеству В.
Например, если А={1, 2, 4}, B={3, 4, 5, 2}, то А ∩ В = {2, 4}

Разностью множеств А и В называется множество АВ, элементы которого принадлежат множесву А, но не принадлежат множеству В.
Например, если А={1, 2, 3, 4}, B={3, 4, 5}, то АВ = {1, 2}

Симметричной разностью множеств А и В называется множество А Δ В, являющееся объединением разностей множеств АВ и ВА, то есть А Δ В = (АВ) ∪ (ВА).
Например, если А={1, 2, 3, 4}, B={3, 4, 5, 6}, то А Δ В = {1, 2} ∪ {5, 6} = {1, 2, 5, 6}

Свойства операций над множествами

Свойства перестановочности

A ∪ B = B ∪ A
A ∩ B = B ∩ A

Сочетательное свойство

(A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C)
(A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C)