Переходные процессы в линейных электрических цепях.

Электрическая цепь может работать в двух режимах: в установившемся (стационарном) и переходном.

Установившийся режим – режим, при котором напряжения и токи могут существовать неограниченно долго не изменяя своего характера, которые определяется видом ЭДС и приложенных напряжений (приложим синусоидальное напряжение и ток будет синусоидальным, приложим постоянное напряжение, ток будет постоянным).

Переходный режим – режим между двумя установившимися значениями. В нем характер напряжений и токов отличается от характера ЭДС и приложенных напряжений. Например, запитаем цепь постоянным напряжением, а токи в ней в переходном режиме будут переменными; запитаем синусоидальным напряжением, а токи будут несинусоидальными. Переходной процесс вызывается коммутацией. Например, замыкание и размыкание ключа, мгновенное изменение параметров электрической цепи; короткие замыкания цепи, атмосферные перенапряжения (удар молнии в контактный провод).

Процесс коммутации хоть и кратковременный имеет определенную длительность Δ t_ком­. Для упрощения расчетов считается, что Δ t_ком­ = 0.

Переходные процессы (П.П.) возникнут только при наличии в цепи реактивных элементов. (L и C – накопители энергии). Если в цепи есть C, в нем накапливается энергия электрического поля , если в цепи есть L, то в ней накапливается энергия м.поля . Эти энергии подпитывают П.П. L, C обладают инерцией (нельзя мгновенно разрядить/зарядить) поэтому можно утверждать, что W_э до коммутации и сразу после нее остается без изменения W_Э (_0)=W_Э(+0).

U_{(_0)} = U₍₊₀₎ (1)

По аналогии можно записать для индуктивности

i_{(_0)} = i₍₊₀₎ (2)

1 и 2 Законы коммутации: Напряжение на конденсаторе и ток на индуктивности не может измениться скачком в момент коммутации. Но другие величины: ток через С, напряжение на L, ток и напряжение на R не подчиняются законам коммутации. Если токи и напряжения на элементах цепи до коммутации равны нулю, то имеем нулевые начальные условия, если не были равны нулю – ненулевые начальные условия. Расчет П.П. заключается в составлении и решении уравнений цепи по 3 законам, которые остаются в силе и в П.П. Но эти уравнения составляются для после коммутационного режима t > 0. Даже если ПП идет в цепи пост.тока, уравнение получиться дифференциальным.

Пусть есть цепь, содержащая р-ветвей, составим уравнения для р токов с пом. подстановки, исключения и т.п. Эту систему сводим к одному уравнению относительной одной переменной, например i.

В качестве этой переменной нужно выбирать или напряжение на С или ток на L, т.к. они подчиняются законам коммутации.

В результате получим одно дифференциальное уравнение n-степени.

n – порядок уравнения, определяется количеством реактивных элементов и конфигурацией цепи. (1) – неоднородное дифференциальное уравнение, f(t) - свободный член, содержит информацию о всех источниках и приложенных напряжениях. (1) может быть решено классическим или операторным методом.

Классическое решение: i = i' + i'’

i' в математике – частное решение (1), в эл.технике – установившееся значение тока после коммутации и сохраняющееся до следующей коммутации.

i'’ в математике – общее решение однородного дифр. Уравнения (1), в эл.технике свободный (приходящий) ток, он существует только во время переходного процесса.

Уравнение (1) превращаем в однородное, предполагая f(t) = 0

Для него составим характеристическое уравнение

Т.е. выполнили алгебраизацию ОУ. Аналитически это уравнение можно решить только когда n≤ 2.

Корни (3) могут быть:

1.вещественные разные

2.вещественные кратные

3.комплексные сопряженные (всегда появляются парами). Их вещественные части должны быть равны нулю. Пусть корни характеристического уравнения вещественные разные, тогда свободную составляющую нужно искать в следующем виде:

Тогда , где A_i – постоянная интегрирования. Тогда общее решение для уравнения (1):

1. В (4) чтобы найти i нужно рассчитать i' и А_i (α _i – нашли из Х.У.) i' находим из расчета нового установившегося режима цепи, когда П.П. затух. Тогда в (4) остаются неизвестными A_i их всего n (по количеству реактивных элементов), а уравнение пока одно. Нужно добавить к (4) еще n-1 уравнений. Для этого берем (4) и дифференцируем его n-1 раз. Причем записываем выражения для каждой производной в виде отдельного уравнения. Полученную систему уравнений записываем для t = +0

Получили систему из n уравнений для n неизвестных. Чтобы ее решить найдем численные значения левых частей – зависимые начальные условия (т.к. они зависят от независимых начальных условий U_C(0); i_L(0)). Правые части определяются в ходе решения для после коммутационного режима.

2.Пусть корни Х.У. вещественные кратные. Например i-й корень α _i имеет кратность m, здесь свободную составляющую можно искать в виде (0), но проще считать если ее искать в другой форме:

3.Корни характеристического уравнения комплексно-сопряженные

Свободную составляющую можно искать в форме (0), но расчет будет меньше, если воспользоваться другой формулой. Допустим α _{1, 2} = ρ ±jβ (j< 0), тогда: