Нұсқа. 1. Кез келген параметр бойынша берілген қисықтың М0 нүктедегі бас нормалі мен түзетуші жазықтығының

1. Кез келген параметр бойынша берілген қ исық тың М₀ нү ктедегі бас нормалі мен тү зетуші жазық тығ ының тең деулері. Мысал.

2. Беттің тең деумен берілгендегі жанама жазық тығ ы мен нормалі. Мысал.

3. Эйлер формуласы.

Берілген М нү ктесі арқ ылы ө тетін кейбір нормаль қ иманы қ арастырайық.

- М нү ктесінде нормаль қ имағ абірлікжанама вектор болсын. - ө зараортогональбірлік бас векторлар. φ арқ ылы ₁векторынан - ғ адейінгіоң бағ ыттаайналубұ рышынбелгілейік ( ₁ - ден ₂ - геайналубағ ытыноң депсанаймыз). Алынғ ан нормаль қ иманың k_nқ исық тығ ы k₁ жә не k₂ бас қ исық тық тарыарқ ылы

k_n= k₁cos²φ + k₂sin²φ

тү ріндеө рнектеледі. Бұ лформуланы Эйлер формуласы дейді. Егер k₁ k₂болса, онда Эйлер формуласынан бас қ исық тық тардың бірі нормаль қ имақ исық тығ ының мү мкінболатынең кішімә ні, ал екіншісіең ү лкенмә ніболыптабылатынышығ ады.

k₁= k₂болуындаk_n= const. Басқ асө збен, берілгеннү ктеарқ ылыө тетінкезкелгенбағ ыттағ ынормальқ иманың қ исық тығ ының мә ніө згермейді. Мұ ндайнү кте дө ң геленгеннү кте делінеді.

Беттің Мнү ктесімаң айындаорналасуынанмағ лұ маталуү шінкелесіү шжағ дайдық арастырайық:

1..Мнү ктесіндеКГауссқ исық тығ ыоң шама. Мұ ндайдаМысалнү ктесі Эллипстік делінеді. Катапайтқ анда k₁, k₂> 0 болуынан k₁мен k₂таң балас. Егер k₁> 0, k₂> 0 болса, ондабарлық нормальқ ималарү шінk_n-деоң. Бетө зінің барлық бағ ытында m нормальвекторыжағ ынаиіліп, жанамажазық тығ ының біржағ ындағ анаорналасады. Эллипстікнү ктедеасимптоталық бағ ыттарболмайды. k₁< 0, k₂< 0 жағ дайының алдың ғ ыдан (қ ималардың бә рі - m векторыжағ ынаиілгенінесептемегенде), маң ыздыө згешелігіжоқ.

2. Мнү ктесіндеКтолық қ исық тығ ытеріс. Мұ ндайнү кте гиперболалық делінеді. Ктолық қ исық тығ ы, атапайтқ анда k₁k₂кө бейтіндісітерісболуынан k₁мен k₂тү рлітаң балы. Анық тылық ү шін k₁< 0, k₂> 0, болсын. Демекбасқ ималардың бірі - m жағ ына, екіншісі m жағ ынаиіледі.

Мнү ктесіненайналғ аннормальқ имажанамасыбасбағ ыттардың біріненекіншісінекө шеді, демектікбұ рышқ абұ рылады. Алоның k_nқ исық тығ ы k₁< 0 мә нінен k₂> 0 мә нінедейінбірсарындыө седі. Демекнө лдікмә нненө теді. Нормальқ исық тың нө лдікмә ніне

бұ рыштарыбойыншабағ ытталғ ан нормаль қ ималарсә йкес. Бұ лқ ималар бас бағ ыттарғ ақ атыстысимметриялыорналасадыжә неберілгеннү ктедеасимптоталық бағ ыттарғ аиеболады. Асимптоталық бағ ыттарменжасалғ анекі пар вертикаль бұ рыштардың бірітерісқ исық тығ ы бар нормаль қ ималардық амтитынболса, екіншісіоң қ исық тығ ы бар нормаль қ ималардық амтиды. Осығ ансә йкесбіріншісінде бет – m векторы жағ ынаиілсе, екіншісінде m жағ ынаиіледі. Нә тижесінде, гиперболалық нү ктемаң айында бет ертоқ ымпішіндесболады.

3. М нү ктесінде К=0 болсын. Осы шарттық анағ аттандыратын бет нү ктелеріпаробалалық делінеді. Мұ ндайнү ктеде К=k₁k₂=0 болуынан k₁k₂қ исық тарының біреуінемесеекеуі де нө лгеайналады. Біріншіжағ дайдабеттегі М нү ктеаймағ ыпаробалалық цилиндр пішіндесболады. Екіншіжағ дайда М жазық талу нү ктесіделінеді. Мұ ндайнү ктеаймағ ында бет қ ұ рылымы аса

кү рделі болуы мү мкін жә не оны зерттеу ү шінші жә не одан да жоғ ары ретті туындыларды қ арастыруғ а келтіріледі.

4.