Метод Адамса. При решении задачи Коши методами Рунге-Кутты необходимо вычислять правые части ОДУ в нескольких точках на каждом шаге

При решении задачи Коши методами Рунге-Кутты необходимо вычислять правые части ОДУ в нескольких точках на каждом шаге. Количество точек Зависит от порядка используемого метода После того как искомая интегральная кривая у(х) определена в нескольких точках х₀, х₁,..., х_п, можно применить алгоритмы интерполяции и сократить количество вычислений правых частей ОДУ для получения решения в очередной точке х_п+1. Подобные методы называют многоточечными, или многошаговыми.

При анализе четырех известных точек интегральной кривой с помощью интерполяционного полинома Ньютона, получим экстраполяционную формулу Адамса:

(10.5)

Значительная величина коэффициента в остаточном члене обусловлена тем, да точка х₄ лежит вне интервала расположения узлов [х₀, х₃], по значениям функции f(x), в которых построен интерполяционный полином. То есть мы имеем дело с экстраполяцией, погрешность которой всегда больше, чем при интерполяции.

С целью уменьшения погрешности способом, аналогичным получению формулы (10.5), по узлам x_l, х₂, х₃, х₄ строится интерполяционная формула Адамса

(10.6)

Последняя формула является неявной, так как искомая величина у₄ необходима для вычисления значения функции f₄ = f(x₄, у₄), входящего в правую часть. Выражение (10.6) можно рассматривать как нелинейное уравнение относительно неизвестной величины у₄ и решать его одним из численных методов. Наиболее часто здесь используется метод простых итераций, хотя в некоторых случаях оказывается более предпочтительным метод Ньютона. Следует иметь в виду, что каждая итерация потребует нового вычисления правой части дифференциального уравнения f(x, у).

Решение, определенное по экстраполяционной формуле (10.5), обычно выбирается в качестве начального приближения для итерационных методов. Поэтому выражение (10.5) рассматривается как формула прогноза, тогда выражение (10.6) является формулой коррекции.