Постановка задачи аппроксимации функций

Функция f называется табличной, если на некотором отрезке [a; b] D(f) задана таблица ее значений. Аппроксимация функции или ее аналитическое приближение на основе известной таблицы значений - это поиск такой аналитически заданной и достаточно просто вычисляемой функции P, которая в каком-то смысле близка к табличной функции f на всем отрезке [a; b],

x
f(x)

[a; b]=[ ; ]; - табличные аргументы; - табличные значения функции

Если аргументы равностоящие, т.е. - =h=const=0; h-шаг таблицы; = +ih (i=0, 1, 2, …, n)

Пусть табличная функции f(x) и приближающая функция p(x) считаются близкими, если значения этих функций в табличных аргументах совпадают, т.е. P()= (i=0, 1, 2, …, n) интерполяционная формула.

Способ аппроксимации с выполнением указанного свойства называется интерполированием. Вычисление значений f(x) с помощью p(x) в точках лежащих между табличными аргументами называют интерполяцией. В этом случае функция p называется интерполирующей функцией, а табличные аргументы ; … называют узлами интерполяции. Чаще всего интерполирующую функцию ищут в виде многочлена (полином) (x)= + +…+ x+ , тогда интерполирование называется полиномерными, а соответствующий многочлен – интерполяционным. Вычисление значений таблично заданной функции f(x) за пределами диапазона значений аргумента отображено в таблице называемой экстраполяцией. Формально экстраполяция ни на чем не основана, но является очень полезным приемом в исследовании процессов и явлений. Для экстраполяции функции можно использовать интерполяционные формулы, например, формулы Ньютона. Для x< применяют первую формулу Ньютона, причем t = < 0, при x> применяют вторую формулу Ньютона t = > 0.