Решение систем линейных алгебраических уравнений методом Гаусса

Система n линейных уравнений с n независимыми имеет вид:

+ +…+ = ;

+ +…+ = ;

+ +…+ = . В матричной форме система имеет вид: A*X=B;

… матрица коэф. системы матрица – столбец матрица-столбец … Х= переменных B= свободных членов

…

Метод Гаусса – метод последовательного исключения переменных. Суть метода: преобразовать исходную систему к равносильной ей системе с треугольной матрицей (прямой ход), из которой затем последовательно записывают значения всех переменных (обратный ход). Метод Гаусса относится к точным методам, т.к. погрешность самого метода равна нулю. Из-за вычислительных погрешностей (при округлении) получить точное решение практически невозможно. Раздел А: коэффициенты исходной системы и свободные члены. Для исключения случайных ошибок предусмотрен текущий контроль, для этого используют столбец контроля сумм () и столбец строчных сумм (S). Контроль в прямом ходе: после того как в раздел А внесены коэффициенты и свободные члены исходной системы находят контрольные суммы – складывают коэффициенты и свободные члены по строкам, результат вносят в раздел ∑. Над контрольными суммами производят те же операции, что и над свободными членами. После выполнения каждого преобразования находят строчную сумму результатов и записывают ее в столбец S(). При отсутствии случайных ошибок числа в столбцах ∑ и S должны практически совпадать. Пусть b – вычисляемый элемент нового раздела, a – соответствующий элемент предыдущего раздела, - горизонтальная проекция элемента b, - вертикальная проекция элемента b. Тогда b=a- . Контроль в обратном ходе раздел В: в столбце свободных членов получают значения переменных, числа в столбце ∑ должны быть ровно на единицу больше самих переменных. Значения в столбце ∑ можно получить, если при вычислении переменных заменить свободные члены и значения уже найденных переменных на соответствующие числа из столбца ∑. Вычислим погрешность: для этого подставим найденные значения в исходную систему и найдем разности между полученными значениями и свободными членами полученной системы. Эти разности называются невязками.