Розвиток основних понять логіки

Проблеми ідентифікації та експлікації головних понять логіки відносяться до методологічних проблем, і тому їх розв’язок доцільно шукати, спираючись на певну гносеологічну платформу. Вибір такої платформи не є простою задачею. Пов’язано це з тим, що не існує загальноприйнятої гносеологічної теорії, більш того, на думку деяких спеціалістів її взагалі може не існувати. Тому ми тут перелічимо лише декілька принципів, на які будемо спиратись, вибираючи за основу діалектичний підхід Гегеля. Першим методологічним принципом є принцип розвитку від абстрактного до конкретного: поняття досліджуваного об’єкту визначається в процесі розвитку. Цей розвиток починається з

абстрактних визначень, що відображають суттєві властивості об’єкту, і поступово переходить до більш конкретних визначень, які специфікують інші властивості об’єкту. Варто зазначити, що наведений принцип (а також інші

методологічні принципи та визначення) не слід тлумачити абсолютно. Треба брати до уваги відносність аспектів, переходи одних аспектів в інші, та пам’ятати в цілому про діалектику понять. Рух від абстрактного до конкретного, як правило, проводиться за тріадною схемою: теза – антитеза – синтез Ця схема відповідає рівням дослідження об’єкту: синкретичний рівень, далі іде аналітичний, потім – синтетичний рівень. На синкретичному рівні об’єкт сприймається як нерозчленована єдність, на аналітичному – виділяються та аналізуються його складові, на синтетичному – об’єкт подається у єдності його складових. Принцип розвитку важливий для логіки та інформатики зокрема і тому, що веде до ієрархії визначень об’єкту різного рівня абстрактності та загальності. Говорячи про різні рівні (типи) абстракції, приходимо до розуміння, що визначення об’єкту на певному рівні абстракції (інтенсіональний аспект) має бути доповнене визначенням класу об’єктів, які належать цьому рівню (екстенсіональний аспект), а також те, що обидва аспекти повинні вивчатись у їх єдності. Це дозволяє сформулювати наступний

принцип. Принцип єдності інтенсіональних та екстенсіональних аспектів:

поняття мають бути представлені у єдності їх інтенсіональних та екстенсіональних аспектів, причому інтенсіональний аспект у ційєдності має провідну роль. Тут інтенсіональні та екстенсіональні аспекти розуміються

згідно давньої логічної традиції: інтенсіональні аспекти пов’язані зі змістом понять, екстенсіональні – з його об’ємом. Наведені принципи, звичайно, не вичерпують методологічних принципів, що використовуються при розвитку понять логіки та інформатики. Вони швидше підкреслюють ті моменти, на які варто звернути увагу при їх дослідженні і які ще недостатньо розроблені на

сучасному етапі. Абстрактна обчислюваність в мовах

програмування Аналіз будованих раніше моделей алгоритмів дозволяє зробити наступні висновки. 1. Розглянуті моделі алгоритмів визначають або арифметичні або вербальні функції, тобто вони визначені лише на натуральних числах або словах над скінченним алфавітом. 2. Самі дані (натуральні числа або слова) розглядаються на одному (конкретному, сингулярному) рівні абстракції як " білі скриньки", тобто мають один і той же інтенсіонал. 3. Обчислюваність над складними структурами даних в цих моделях не розглядається. Поряд з цим, для інформатики є надзвичайно важливим розгляд структурованих даних на різних рівнях абстракції. Зазначена обставина робить актуальною проблему визначення та дослідження нового типу обчислюваності, яка за пропозицією А.П. Єршова називається абстрактною обчислюваністю. Для цього типу обчислюваності розглядаються дані різного рівня абстракції і, відповідно, різних інтенсіоналів, тому такий тип обчислюваності можна називати також інтенсіональною обчислюваністю. Новий тип обчислюваності зазвичай вводиться за наступною схемою: – спочатку дається обґрунтування та інтуїтивне пояснення нового типу, – далі чисто формально визначається (есплікується) повний клас обчислюваних функцій. Інтуїтивні пояснення, як правило, спираються на інтенсіональні властивості даних та функцій. Що стосується формального визначення повного класу, то є два підходи: постуляційний та редукційний. Постуляційний підхід означає, що певний клас функцій постулюється як повний клас обчислюваних функцій нового типу. Це

постулювання задається відповідною тезою, аналогічній тезі Чорча. Редукційний підхід визначає повний клас шляхом зведення (редукції) до вже відомих типів обчислюваності. Ми розглянемо обидва варіанти введення абстрактної обчислюваності.

34. Постуляційні визначення повних класів обчислюваних функцій для даних абстрактного рівня

Будемо розглядати класи однозначних (унарних) функцій, заданих на деякому (екстенсіональному) класі даних D, який розглядається з інтенсіоналом I.

Клас відповідних обчислюваних функцій позначимо Comp (I, D). Головна складність полягає в опису інтенсіоналу і тих засобів обчислення, які йому відповідають. Будемо користуватись діаграмою розвитку поняття даного з

розділу 1. 2. Перший клас обчислюваних функцій отримуємо для абстрактних

даних рівня D. W. A. Відповідний інтенсіонал позначимо I [ D. W. A ]. Цей інтенсіонал означає, що ніяка інформація про дані недоступна (дане є

" чорною скринькою"), тому будь-який екстенсіональний клас D може бути заданий на цьому рівні. В цьому випадку ніяких нових даних (крім вхідного даного) отримати не можна. Тому обчислюваними можуть бути лише всюди невизначена функція ⊥ та тотожна функція id. Наведені інтуїтивні міркування дозволяють сформулювати наступну тезу. Теза обчислюваності для даних рівня D. W. A. Повний клас обчислюваних функцій над абстрактними даними з інтенсіоналом I [ D. W. A ] складається із всюди невизначеної та тотожної функції, тобто Comp (I [ D. W. A ], D) = {⊥, id }. Наступний рівень – D. W. C. Дані розглядаються як ≪ білі скриньки≫. Клас таких даних скінчений. Скінченність пояснюється тим, що ніякий механічний (конструктивний) пристрій не в змозі розрізнити нескінченну кількість даних. Тут обчислюваними будуть усі функції

над D. Теза обчислюваності для даних рівня D. W. C. Повний клас обчислюваних функцій над конкретними даними з інтенсіоналом I [ D. W. C ] співпадає з класом усіх функцій, тобто Comp (I [ D. W. C ], D) = D → D.

Наступний рівень – синтетичний рівень D. W. S: дане є або " чорною", або " білою скринькою". Клас даних D з таким інтенсіоналом є об’єднанням класу A даних, що тлумачаться абстрактно, з скінченим класом даних C, що тлумачаться конкретно. При такому тлумаченні кожна обчислювана функція задається як " об’єднання" двох обчислюваних функцій, одна з яких задана на A, а друга – на C. Клас обчислюваних функцій, заданих на A, складається із функції ⊥ A, тотожної функції idA, та функцій констант cA, де c ∈ C. Отримуємо наступну тезу.__ Теза обчислюваності для даних рівня D. W. S. Повний клас

обчислюваних функцій над даними з інтенсіоналом I [ D. W. S ] задається наступним чином: Comp (I [ D. W. S ], D) = { f ∪ g | f ∈ ({ ⊥ A, idA }∪ { cA | c ∈ C }), g ∈ C → C }. Для визначення класів багатозначних функцій потрібно ввести

недетерміновані функції вибору.