Главная страница Случайная страница Разделы сайта АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника |
Варіаційні принципи⇐ ПредыдущаяСтр 13 из 13
Варіаційні принципи застосовуються до аналізу різноманітних явищ. Суть кожного з них полягає в тому, що зі всіх допустимих для досліджуваної системи станів реалізується той, який відповідає екстремуму певного функціоналу (для кожного принципу свого). Розглянемо два таких принципи. Принцип Ферма в оптиці: зі всіх можливих шляхів, які сполучають точки A і B, світло вибирає той, що відповідає найменшому часу руху: Тут c — швидкість світла у вакуумі, n — показник заломлення світла в даному середовищі, t — час. Форма кривої AB визначається мінімумом вказаного функціоналу. В оптично однорідному середовищі — це пряма лінія. Принцип Гамільтона-Остроградського (принцип найменшої дії) в механіці: дійсний рух системи виділяється зі всіх допустимих рухів тим, що функціонал, який називається дією, досягає при цьому мінімуму. Тут L — функція Лагранжа, що є різницею кінетичної T і потенціальної U енергій: . Візьмемо для прикладу найпростішу механічну систему, що складається тільки з однієї матеріальної точки масою m, яка рухається вздовж осі під дією сили з потенціалом U (x). Розглянемо два випадки: а) Нехай система консервативна і її функція Лагранжа не залежить явно від часу t (однорідність часу). Тоді рівняння Ейлера для функціоналу S спрощується і набуває вигляду: де — швидкість, C=const. Але Звідси . Тобто, закон збереження енергії виступає наслідком варіаційного принципу найменшої дії. б) Нехай функція Лагранжа L не змінюється при паралельному перенесенні системи (однорідність простору). Тоді у функціоналі S підінтегральна функція не залежить явно від невідомої функції і рівняння Ейлера спрощується, набуваючи вигляду: Але — імпульс системи. Звідси . Тобто, закон збереження імпульсу теж виступає наслідком варіаційного принципу найменшої дії. Задачі для самостійної роботи 1. Використовуючи достатні умови, дослідити на екстремум функціонал: 1.1. 1.2. 1.3. 1.4. 1.5. 1.6. 1.7. 1.8. 1.9. 1.10. 1.11. 1.12. 1.13. 1.14. 1.15. 2. Знайти допустимі екстремалі задачі Лагранжа: 2.1. 2.2. 2.3. 3. Знайти допустимі екстремалі ізопериметричної задачі: 3.1. 3.2. 3.3. 4.1. Знайти допустиму екстремаль функціоналу при умові, що лівий і правий кінці належать відповідно лініям . 4.2. Знайти допустиму екстремаль функціоналу при умові, що лівий і правий кінці належать відповідно лініям . 4.3. Знайти допустиму екстремаль функціоналу з рухомими кінцями при умові, що лівий і правий кінці належать відповідно лініям . 5.1. Знайти найкоротшу відстань від точки до параболи . 5.2. Знайти найкоротшу відстань між колом і прямою . 5.1. Знайти найкоротшу відстань між параболою і прямою .
Запитання для самоконтролю та підготовки до екзамену (заліку) 1. Що називається функціоналом? 2. Що таке відносний (абсолютний) мінімум (максимум) функціоналу? Що таке сильний (слабкий) екстремум? 3. Сформулюйте перше і друге означення варіації функціоналу. Що називається другою варіацією функціоналу? 4. Як ставиться найпростіша задача варіаційного числення? 5. У чому полягає необхідна умова екстремуму функціоналу у варіаційній формі? 6. Запишіть рівняння Ейлера. Який його порядок? 7. Як ставиться найпростіша задача варіаційного числення для функціоналів, що залежать від кількох функцій? 8. Запишіть систему рівнянь Ейлера-Лагранжа. 9. Як ставиться найпростіша варіаційна задача для функціоналів, що залежать від похідних вищих порядків? 10. Запишіть рівняння Ейлера-Пуассона. Який його порядок? 11.У чому полягає достатня умова екстремуму функціоналу у варіаційній формі? 12.Сформулюйте посилені достатні умови Лежандра екстремуму функціоналу. 13. Як ставиться задача Лагранжа на умовний екстремум? 14. У чому полягає метод множників Лагранжа стосовно розв'язування задачі Лагранжа на умовний екстремум? 15. Що таке ізопериметрична задача на умовний екстремум? 16. У чому полягає метод множників Лагранжа стосовно розв'язання ізопериметричної задачі? 17. У чому полягає принцип взаємності? 18. Як ставиться варіаційна задача з рухомими кінцями? 19. Сформулюйте природні крайові умови. 20. Сформулюйте умови трансверсальності для випадку, коли кінці шуканої екстремалі можуть ковзати вздовж заданих ліній. 21. У чому полягає принцип Ферма в оптиці? 22. Сформулюйте принцип найменшої дії в механіці.
Список рекомендованої літератури 1. Эльсгольц Л.Э. Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление. — М.: Наука, 1969. — 424 с. 2. Мышкис А.Д. Математика для втузов (специальные курсы). —М.: Наука, 1971. — 632 с. 3. Смирнов В.И. Курс высшей математики. т.4, ч.1. —М.: Наука, 1974. — 336 с. 4. Высшая математика / П.Ф.Овчинников, Б.М.Лисицын, В.М.Михайленко. —К.: Вища шк., 1989. — 676 с. 5. Пак В.В., Носенко Ю.Л. Вища математика. —К.: Либідь, 1996. — 440 с. 6. Цлаф Л.Я. Вариационное исчисление и интегральные уравнения. —М.: Наука, 1970. — 191 с. 7. Вариационное исчисление (задачи и упражнения) / М.Л.Краснов, Г.И.Макаренко, А.И.Киселев. —М.: Наука, 1973. — 192 с. 8. Высшая математика: Сборник задач /Х.И.Гаврильченко, А.Ф.Кривой, П.С.Кропивянский и др. — К.: Вища шк., 1991. — 455 с. 9. Высшая математика в упражнениях и задачах. В 2-х ч. Ч.II / П.Е.Данко, А.Г.Попов, Т.Я.Кожевникова. —М.: Высш.шк., 1997. — 416 с. ЗМІСТ
|