Поняття про функціонал

Передмова

Варіаційне числення вивчає методи розв’язування задач на дослідження функціоналів на екстремум. Надалі такі задачі будемо називати варіаційними.

Методи варіаційного числення знаходять широке застосування в різних галузях науки та виробництва при постановці та розв'язуванні задач моделювання, оптимізації та управління. Володіння ними стає складовою частиною сучасної інженерної освіти.

ФУНКЦІОНАЛ ТА ЙОГО

ВАРІАЦІЯ. ЕКСТРЕМУМ

Поняття про функціонал. Екстремум функціоналу. Класичні задачі варіаційного числення. Варіація функції та приріст функціоналу. Неперервність функціоналу. Лінійний функціонал. Перша та друга варіації функціоналу.

Поняття про функціонал

Нехай задано деякий клас D функцій . Якщо кожній функції із класу D за деяким законом ставиться у відповідність певне числове значення змінної I, то ця змінна І називається функціоналом від однієї функціональної змінної і позначається .

Клас D функцій , на яких визначений функціонал, називається областю визначення функціоналу. При цьому функція служить незалежною змінною (аргументом) функціоналу. Функції із області визначення D даного функціоналу І називаються функціями порівняння або допустимими функціями.

Кожну функцію , яка належить області визначення D функціоналу І[у], можна розглядати як точку (елемент) деякої множини (простору) функцій. Простори, елементами яких служать функції, називаються функціональними просторами. Можна сказати, що функціонал — це функція, в якої значеннями незалежної змінної є точки (елементи) функціонального простору, а значеннями залежної змінної І — числа.

Можна розглядати також функціонали від кількох незалежних функціональних змінних. Якщо скінчен­ному набору функцій з певного класу функцій D ставиться у відповідність за деяким законом певне числове значення змінної І, то І називається функціоналом від n функціональних змінних і позначається .

Приклад 1. Обчислити заданий функціонал при заданих значеннях аргументу:

а)

б)

в)

г)

д)

е)

Розв'язання.

а)

б)

в)

г)

д)

е)

Надалі будемо розглядати, в основному, функціонали вигляду , областю визначення яких служить клас функцій , що визначені та неперервні разом з першою похідною на відрізку .