Главная страница Случайная страница
Разделы сайта
АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника
Методы частиц
|
|
Методы частиц представляют собой очень большую и разнообразную группу методов. К решению практически любой физической задачи можно применить какой-нибудь метод из этой группы. Эти методы, как правило, имеют довольно простую физическую интерпретацию и могут быть относительно легко реализованы. Много полезной информации по этим методам можно найти в книге [11].
Начнем с простейших случаев. В простейших методы частиц являются частными случаями методов Монте-Карло (теперь чаще используют термины «прямое моделирование» и «имитационное моделирование»). Такие методы применяются при численном моделировании процессов в разреженной плазме. При этом в расчетной области отслеживается поведение некоторого числа частиц, каждая из которых движется по законам какой-либо физической частицы (нейтральной, иона или электрона). Взаимодействие между частицами происходит, когда они сближаются на расстояние, меньшее радиуса взаимодействия (в расчете он больше физического, т.к. расчетных частиц меньше, чем в реальном устройстве).
Наблюдение за частицами, конечно, интересное занятие, но нашей целью является вычисление параметров плазмы, например концентраций частиц в различных точках расчетной области. К тому же, зная параметры плазмы гораздо проще отслеживать взаимодействие частиц.
Рассмотрим расчет концентраций. Для этого задаем в расчетной области сетку (разбиваем на ячейки) и ищем концентрацию в каждой ячейке. В замкнутом объеме это проделывается очень просто. Число тяжелых частиц (нейтральных и ионов) там известно. Число расчетных частиц, которые мы пустили в этот объем тоже известно. Обозначим число физических частиц Np и число расчетных частиц N. Тогда, если в j-й ячейке с объемом Vi находится Ni частиц, то концентрация равна
В случае, если через рассматриваемый объем есть расход рабочего тела, то расчет несколько усложняется. Рассмотрим стационарный случай. Пусть задан массовый расход 
. Мы запускаем в объем N частиц. Попутешествовав немного внутри расчетной области, они все должны вылететь за ее пределы. Но, пока они этого не сделали, нужно набрать статистику, которая будет использоваться в дальнейшем для расчета концентрации. Существуют два подхода к подсчету этой статистики: один попроще, второй поточнее. Начнем с первого. В нем фиксируется число пролетов частиц через ячейку. В итоге, когда все частицы покинут расчетную область, для каждой ячейки будем иметь число, показывающее, сколько раз частицы пролетали через эту ячейку. Обозначим такие числа Nj. Значит через j-ю ячейку пролетает массовый поток
но такой массовый поток можно оценить как
где 
- средний модуль скорости частиц, а Sj – площадь поверхности ячейки. Отсюда получаем плотность частиц в ячейке
Этот метод достаточно прост, но оценка массового потока через среднюю скорость частиц вносит дополнительную ошибку. Если среднюю скорость нейтральных частиц можно, как правило, считать заранее известной, то среднюю скорость частиц других видов нужно считать, опять же накапливая статистику.
Этих неприятностей можно избежать, если собирать чуть более сложную статистику во время расчета движений частиц. Для каждой ячейки нужно суммировать время, которое пролетающая частица провела внутри этой ячейки. Это время вычисляется по формуле
где l – длина пути, который частица прошла внутри ячейки, v – скорость, с которой частица пролетала этот участок. Обозначим за tj суммарное время, которое частицы провели в j-й ячейке. Тогда формула для концентрации легко выводится. Выбранное нами общее число частиц влетает в расчетную область за время
За такой промежуток времени в j-й ячейке частицы провели время tj. Следовательно, число находившихся там частиц равно
и концентрация равна
Для того, чтобы посчитать не только концентрацию, но и другие параметры (компоненты скорости, среднюю энергию частиц), нужно также накопить соответствующую статистику. Например, чтобы узнать среднюю энергию частиц, нужно для каждого пролета кроме времени, проведенного частицей в ячейке, посчитать произведение этого времени на энергию частицы. Обозначим сумму произведений времени на энергию как (te)j, тогда средняя энергия считается по формуле
Еще проще выглядят формулы для средних значений компонент скорости. Умножая время на компоненту скорости, мы, естественно, получаем расстояние. То есть суммировать надо разности координат точек входа частицы в ячейку и выхода из ячейки. Компоненты средней скорости получаются делением суммы расстояний (разностей координат) на сумму времен.
Зная параметры плазмы в каждой ячейке, мы можем легко решать вопрос о вероятности взаимодействия частиц между собой. Теперь нам не надо рассматривать все возможные пары частиц на предмет: а не провзаимодействовали ли они? С учетом того, что обычно меньше ста тысяч частиц не рассматривают, отказ от рассмотрения всех пар приводит к существенной экономии времени. Теперь можно использовать ранее рассмотренную формулу о вероятности взаимодействия частиц. Вероятность того, что частица первого вида пройдет расстояние L в области, заполненной частицами второго вида равна
На участке траектории частицы, проходящем через ячейку, оценивается вероятность взаимодействия с другими частицами. Затем берется случайное число от нуля до единицы. Если случайное число меньше, чем вероятность взаимодействия, то считается, что взаимодействие произошло. Последствия этого могут быть самые разнообразные. Например, если под взаимодействием понималось упругое соударение (рассеяние одних частиц на других), то частица просто сменит траекторию (возможно, и энергию). Если имелось ввиду какое-либо иное взаимодействие (например, ионизация), то частица может перейти из одной группы в другую (например, из нейтральных в ионы).
Если рассматривается только одна группа частиц (например, нейтральные частицы), то точность можно еще поднять без существенных усложнений алгоритма. Для этого нужно считать, что то, что мы до сих пор называли частицей, не одна частица, а некоторое количество частиц. Тогда при прохождении какого-то участка часть из этого количества провзаимодействовала с другими частицами, а часть пошла дальше.
Возвращаясь к рассмотренным нами алгоритмам, припишем каждой частице еще одно число – так называемый вес (к массе и силе тяжести не имеющий никакого отношения). В начальный момент все веса равны единице. При пересечении частицей какой-либо ячейки этот вес умножается на вероятность благополучного (без взаимодействия) прохождения этого участка. Теперь появился еще один критерий для прекращения слежения за частицей. Отслеживание частицы прекращается не только в случае покидания ею расчетной области, но и в случае, когда ее вес стал меньше какой-то наперед заданной малой величины. При накоплении статистики все суммируемые величины будем умножать на вес частицы.
Продемонстрируем на примере расчет без весов и с весами. Рассмотрим одномерную модель газоразрядного устройства. С одного конца в него подается рабочее тело, все частицы, долетевшие до другого конца, покидают устройство. Проходя вдоль устройства, нейтральная частица с вероятностью pi ионизируется и покинет устройство в виде иона. Требуется найти долю частиц, покидающих устройство в виде ионов. Очевидно, ответ будет pi. Теперь попробуем получить результат классическим методом Монте-Карло. Для этого берем некоторое число частиц. Каждой из них ставим в соответствие случайное число от 0 до 1. Если число меньше pi, то частица ионизуется, если больше – нет. Мы, конечно же, получим ответ, но приближенный. Чтобы повысить точность вдвое, нужно в четыре раза увеличить число частиц. Если же мы будем приписывать частицам веса, то нам достаточно пустить одну единственную частицу, она с вероятностью pi ионизуется. Следовательно, к выходу придет нейтральная частица с весом (1‑ pi). Таким образом, мы с помощью одной частицы получили точный результат. К сожалению, в более сложных задачах одной частицей обойтись не удается.
Но борьба за точность при этом не остановилась. Дело в том, что существенные трудности возникают при попытках расчета потенциала плазмы. Если пытаться получить его традиционным способом (решая уравнение Пуассона), то нужно знать разность концентраций ионов и электронов. Даже в разреженной плазме концентрации ионов и электронов отличаются в пятом-седьмом знаке. Чтобы получить подобную точность методами Монте-Карло нужно в каждой ячейке иметь, как минимум, порядка 105-107 частиц. С учетом того, что ячеек должно быть, как минимум, сто в двумерном случае и 1000 в трехмерном, такая задача становится неподъемной для современных компьютеров (или будет решать неоправданно долго). К тому же классические методы Монте-Карло не дают повторяемости результатов. Несколько раз посчитав одну и ту же задачу, мы получаем несколько ответов (отличия между ними определяются погрешностью расчетов).
Попытки решения этих проблем привели созданию методов частиц конечного размера [21]. Вместо отдельных частиц в них рассматриваются некоторые пространственные образования (сгустки, облака) состоящие из частиц одного вида с близкими энергиями и направлениями движения. Для краткости эти образования опять называют частицами.
Наиболее часто встречающийся вариант этих методов выглядит следующим образом. Каждая частица занимает ровно одну ячейку (в ячейке может быть много частиц, различающихся видом, энергией и направлением движения). Рассматривают движение всех частиц в течение короткого промежутка времени такого, чтобы они не улетели дальше соседних ячеек. Затем в каждой ячейке составляется баланс: сколько чего убыло, сколько чего прибыло и сколько чего стало. Все, что стало в ячейке, разделяется на частицы, и процесс повторяется.
Для демонстрации данного метода рассмотрим одномерную задачу для нейтральных частиц. Будем обозначать концентрации частиц, движущихся влево и вправо в j-й ячейке, как nj, l и nj, r. Будем считать скорости всех частиц равными u. Размеры всех ячеек равны h. Частицы выбывают из расчетной области вследствие ионизации. Ионизация характеризуется величиной ne< sv>. Рассмотрим, что произойдет через время t. Все частицы сместятся на расстояние ut. Концентрация в каждой частице изменится в exp(-ne< sv> t) раз. Каждая частица частично перейдет в соседнюю ячейку, вышедшая доля составит ut/h. В j-й ячейке концентрация частиц, летящих влево составит
аналогично подсчитывается концентрация частиц, летящих вправо
Таким образом, можно рассчитать концентрации в следующий момент времени. Повторяя эту процедуру можно получить требуемое решение. Следует отметить, что здесь уже нигде не используется датчик случайных чисел. Это приводит к тому, что при таком подходе точность растет обратно пропорционально размеру частиц (а не корню из числа частиц, как в классических методах Монте-Карло).
В двумерном или трехмерном случае применяя эту идею получаем метод дискретных направлений. Из всего многообразия направлений выделяем конечное число фиксированных направлений, каждое из которых задает некоторый сектор или телесный угол. В каждой ячейке рассматриваются столько «сгустков», сколько выбрано направлений. (Все частицы, оказавшиеся в данной ячейке и движущиеся внутри некоторого сектора или телесного угла, относятся к соответствующему направлению.) На каждой итерации рассчитывается новое значение концентрации частиц в каждой ячейке и приписанных к каждому из направлений. Недостатком этого метода является «рассеивание» частиц (фактически частицы не могут двигаться по прямой, даже если на них не действуют никакие силы). Поэтому этот метод обычно применяется в тех случаях, когда длина пробега частиц меньше размера расчетной области.
Все изложенные выше методы частиц применимы к разреженной плазме (точнее: когда длина свободного пробега частиц больше размера ячейки). Если же длина свободного пробега частиц меньше размера ячейки, то можно считать, что каждый вид частиц имеет в ячейке один единственный вектор скорости – среднюю скорость физических частиц. Отдельные физические частицы отслеживать уже не имеет смысла. Используется идеология частиц конечного размера. То есть рассматриваются некоторые сгустки, которые, для краткости, тоже называют частицами. Во всех методах частиц для плотной плазмы расчетная область разбивается на ячейки, в которых и находятся параметры плазмы.
Рассмотрим методы частиц, применяющихся для расчета плотной плазмы, в порядке их появления. Сначала появился метод «частица в ячейке». В нем отслеживается движение некоторого количества частиц. Каждая частица имеет свою массу, вектор скорости, энергию. Размер частиц в данном методе не рассматривается, отслеживается лишь перемещение центра частицы. Имеем некоторое начальное распределение частиц. Через некоторый промежуток времени (он выбирается таким, чтобы частицы не успели пролететь расстояние, большее размера ячейки) все частицы изменят свое положение и параметры. Каждая из частиц окажется внутри какой-то ячейки. В каждой ячейке подсчитываются суммарные масса и энергия частиц каждого вида. Суммарная энергия частиц каждого вида внутри ячейки перераспределяется между этими частицами пропорционально массе. В ячейке вычисляется средний вектор скорости частиц каждого вида. Всем частицам одного вида внутри ячейки приписывается рассчитанная средняя скорость. Таким образом, получаем новое распределение частиц с новыми значениями параметров. Далее процесс повторяется до достижения требуемого критерия останова.
Следующим шагом люди подумали, зачем иметь несколько частиц в одной ячейке, если их параметры все равно осредняются. И придумали метод «жидких частиц [22]». Каждая частица в этом методе занимает одну ячейку. Частицы имеют тот же набор параметров. Точно также рассматривается движение частиц на некотором промежутке времени. Если нас не очень интересуют процессы диффузии, то изменением размера частиц во время движения пренебрегаем. В следующий рассматриваемый момент времени каждая частица частично (или даже полностью) окажется в соседних ячейках, принеся туда соответствующие доли своих массы, импульса и энергии. Для каждой ячейки подсчитываются массы, импульс и энергия частиц каждого вида, которые в ней оказались (что-то осталось от «родной» частицы, что пришло из соседних ячеек). После чего о существовавших частицах забывают и в каждой ячейке «формируют» новые частицы (по одной каждого вида) с полученными параметрами.
Но потом люди еще подумали и сократили объем вычислений без потери точности. Получился метод крупных частиц [23]. От частиц в нем почти ничего не осталось. Основная идея этого метода такая же, как и в методе конечных объемов. Но потоки массы, импульса и энергии через границы ячейки считаются по той же идеологии, как и в методе жидких частиц. Итак, в некоторый момент имеем в каждой ячейке для каждого вида частиц обычный набор параметров: плотность, вектор скорости, средняя энергия. Рассмотрим некоторый промежуток времени. За это время на содержимое ячеек будут действовать какие-то силы, определяемые выбранной нами физико-математической моделью. Эти силы повлияют на скорости в ячейках. Нам нужно определить средние (за выбранный промежуток времени) скорости и для каждой грани ячеек определить направление движения частиц каждого вида. Теперь можно посчитать потоки массы, импульса и энергии через эти грани. Потоки определяются средними (за выбранный промежуток времени) значениями параметров в ячейке, из которой они выходят (значения в ячейке, куда идет поток, не участвуют в расчете потока через грань). Зная все эти потоки нетрудно вычислить значения параметров плазмы в каждой ячейке в следующий момент времени. Далее весь этот процесс повторяется до тех пор, пока не будет решение об остановке. Для стационарных задач, как правило, расчет останавливают, если решения на двух последовательных итерациях отличаются на величину, меньшую заранее выбранного малого числа.
В простейших случаях (равномерная прямоугольная сетка) метод крупных частиц эквивалентен методу конечных разностей первого порядка типа «уголок» с автоматическим выбором разностной схемы из условия устойчивости. Поэтому единственным требованием к устойчивости метода крупных частиц является удовлетворение условия Куранта-Фридрихса-Леви.
Метод граничных элементов [24]
В ряде случаев удается упростить (с точки зрения объема вычислений) задачи, сведя их к задачам меньшей размерности. Например, решение трехмерной задачи свести к решению двумерной задачи. Обычно, это удается сделать, если процессы, проходящие внутри расчетной области достаточно просты. Например, это иногда удается сделать при расчете нейтральных частиц в разреженной плазме (где движение частиц можно считать прямолинейным). Но для применения этого метода необходимо еще одно условие. Угол, под которым частица отлетает от стенки, не зависит от предыстории (например, от угла, с которым частица подлетала к стенке). Суть метода состоит в том, что задачу о распределении нейтральных частиц в расчетной области сводят к решению задачи о распределении потоков нейтральных частиц с границ. То есть трехмерную задачу сводят к двумерной или двумерную задачу сводят к одномерной.
На ячейки в этом методе делится не расчетная область, а ее граница. В каждой такой ячейке нужно найти массовый поток нейтральных частиц, идущих со стороны границы. Для простоты будем считать, что все нейтральные частицы имеют одну скорость (в противном случае нужно заводить несколько групп нейтральных частиц, различающихся скоростью частиц). Ячейки, относящиеся к выходу рассчитываемого устройства, можно, как правило, исключить из расчета – через них в расчетную область нейтральные частицы не поступают, а только уходят. А для всех прочих ячеек составляются уравнения баланса массы. Искомый массовый расход в сторону объема рассчитываемого устройства через ячейку приравнивается сумме потоков: массовый расход подаваемого рабочего тела (если оно подается через данную ячейку), массовый поток ионов на эту ячейку и массовый расход частиц, пришедший с других ячеек. Для j-й ячейки это выглядит так
Получаем систему линейных алгебраических уравнений. В матричном виде ее можно записать
где элементы вектор-столбца B представляют собой суммы потоков ионов и расхода газа через ячейки, вектор-столбец M является искомой величиной. На главной диагонали матрицы A стоят единицы, а на месте с индексами j и i стоят со знаком минус доли расходов с одной i-й ячейки, приходящие на j-ю ячейку.
Доля частиц, вылетающих с одной площадки (ячейки) и приходящих на другую, определяется законом разлета частиц и вероятностью преодоления ими расстояния между площадками. Если частицы равновероятно разлетаются по всем возможным направлениям, то долю частиц, вылетевших с i-й площадки в сторону j-й, можно оценить по формуле
где Sj – площадь j-й ячейки, aj, i – угол между нормалью к j-й площадке и линией, связывающей центры i-й и j-й площадок, Ri, j – расстояние между двумя центрами площадок. Потери нейтральных частиц вследствие ионизации тоже легко оцениваются. Для этого пройтись вдоль линии, соединяющей площадки, и проинтегрировать все потери. В результате вероятность того, что частицы долетят, будет
Окончательно внедиагональные элементы матрицы A можно записать
Теперь решаем систему линейных уравнений и получаем потоки нейтральных частиц со стенок. Но нам нужны концентрации нейтральных частиц внутри расчетной области. Оказывается, это довольно просто. В любой точке пространства мы можем посчитать концентрацию частиц прилетающих с каждой площадки. Если бы частицы, летящие с i-й площадки, не выбывали из-за ионизации, то их концентрация в точке с индексом p составила бы
но вероятность того, что они в эту точку долетят, составляет
Следовательно, окончательно формула для концентрации будет выглядеть так
За счет того, что решается задача меньшей размерности, этот метод (там, где его можно применить) позволяет существенно сократить время счета.
На этом курс закончен. Спасибо за внимание.
Задачи
0. Как вычисляется количество чего-либо в объеме? Как вычисляется поток чего-либо через поверхность?
1. Записать в безразмерном виде уравнение сохранения массы
Решение. В безразмерном виде данное уравнение записывается
где Sh= 
- число Струхаля, характеризующее нестационарное движение.
2. Записать в безразмерном виде уравнение сохранения импульса электронов.
Решение. В безразмерном виде уравнение записывается
где Eu – число Эйлера.
3. Записать в безразмерном виде уравнение ламинарного пограничного слоя
Решение. В безразмерном виде уравнение записывается
где Re= 
- число Рейнольдса
4. Оценить концентрацию нейтральных частиц в устройстве. Полость цилиндрической формы 10 см в длину и 10 см в диаметре. С одного торца подается ксенон (атомная масса 131) 0.5 мг/с. Другой торец - отверстия, суммарная площадь которых 0.9 от площади торца. Скорость истечения оценивать по формуле 
. Температура нейтральных частиц 600 К. Справочные константы: масса нейтрона 1.67× 10-27 кг, постоянная Больцмана 1.38× 10-23 Дж/кг.
Ответ: 3.8× 1018 м-3.
5. В предыдущей задаче оценить концентрации ионов и нейтральных частиц в камере. Считать, что 70% потока массы уходит в виде ионов (коэффициент использования рабочего тела 70%). Скорость ионов в камере оценивать по формуле 
. Температура электронов соответствует энергии 8 эВ. Заряд электрона 1.6× 10-19 Кл.
Ответ: концентрация нейтральных частиц 1.15× 1018 м-3, концентрация ионов 1.3× 1017 м-3.
6. В задаче 5 вместо заданного коэффициента использования рабочего тела заданы интенсивность ионизации < sv> =5× 10-14 м3/c и коэффициент использования объема для процесса ионизации 0.5. Определить коэффициент использования рабочего тела.
Ответ: 82%
7. Для задачи 6 построить зависимость коэффициента рабочего тела для изменения расхода от 0.5 до 0.7 мг/с.
Ответ: 82%-87%.
8. Численно решить уравнение
используя следующую разностную схему
на отрезке 0£ x£ 20 с шагом 1 и 0£ t£ 15 с шагами 0.5, 0.75 и 1. Начальное распределение
и граничном условии f(t, 0)=1.
Ответ: аналитическое решение
9. Численно решить уравнение
используя следующую разностную схему
на отрезке 0£ x£ 1 с шагом 0.1 и 0£ t£ 0.2 с шагами 0.005 и 0.01. Начальное распределение
и граничных условиях f(t, 0)=f(t, 1)=0.
Ответ: аналитическое решение
При шаге по времени 0.01 наблюдается потеря устойчивости
10. Численно решить невязкое уравнение Бюргерса
используя следующую разностную схему
на отрезке 0£ x£ 30 с шагом 1 и 0£ t£ 25 с шагом 1. Начальное распределение
и граничном условии f(t, 0)=1.
Ответ: аналитическое решение
11. Исследовать устойчивость разностной схемы методом дискретного возмущения
Ответ: схема неустойчива (устойчива только при a=0)
12. Исследовать устойчивость разностной схемы (схемы Лакса) методом дискретного возмущения
Ответ: схема устойчива при |C|£ 1.
13. Исследовать устойчивость разностной схемы (схемы «чехарда» Дюфорта-Франкела) методом фон Неймана
Ответ: схема устойчива при |C|£ 1.
14. Получить приближенные решения дифференциального уравнения
с начальным условием f(0)=1. Решение искать на отрезке [0, 1] в виде
Использовать методы: коллокаций (узлы на концах отрезка), наименьших квадратов и Галеркина. На одном графике построить все полученные решения в сравнении с аналитическим решением и рядом Тейлора (первые три члена разложения). На одном графике построить погрешности трех полученных решений и Тейлора.
Ответ: метод коллокаций 
Метод наименьших квадратов 
Метод Галеркина 
15. Методом конечных элементов решить дифференциальное уравнение
с начальным условием f(0)=1 на отрезке [0, 1] с шагами 1, 0.5 и 0.25. Построить зависимость погрешности в точке x=1 от шага.
Ответ: при h=1: f(1)=2/5, D»-0.032
При h=0.5: f(1)=25/59, D»0.0053
При h=0.25: f(1)»0.369, D»0.0014
16. Методом конечных элементов решить дифференциальное уравнение Пуассона
на отрезке [-1, 1] с граничными условиями f(-1)=0 и f(1)=0 с шагами 1 и 0.5. Построить график функции.
Ответ: f(-0.5)=0.75, f(0)=1, f(0.5)=0.75
17. Методом конечных элементов решить дифференциальное уравнение Пуассона
на отрезке [-1, 1] с граничными условиями f(-1)=0 и f(1)=0 с шагами 1 и 0.5. Построить график функции.
При нахождении решения можно пользоваться формулой для внутренних узлов
Ответ: для h=1: f(0)=1
Для h=0.5: f(-0.5)=0.9375, f(0)=1, f(0.5)=0.9375
18. Методом Монте-Карло без использования весов посчитать коэффициент использования рабочего тела. Вероятность ионизации частицы при пролете устройства 0.4, ионизовавшаяся частица покидает устройство. На одном конце подается рабочее тело, вероятность вылета нейтральной частицы, достигшей другого конца, равна 0.3. Использовать 20 частиц.
Ответ: аналитическое решение 
»0.759.
19. Предыдущую задачу посчитать Методом Монте-Карло с использованием весов. Использовать одну частицу. Остановить, при значении веса, меньшем 10-4.
Литература
1. Протасов Ю.С., Чувашев С.Н. Физическая электроника газоразрядных устройств. Плазменная электроника. Часть 1, 2. М: Высшая школа. 1993.
2. Чуян Р.К. Методы математического моделирования двигателей летательных аппаратов. М: Машиностроение. 1988 г.
3. Латышев Л.А., Чуян Р.К. Оптимизация параметров электростатических ракетных двигателей и ускорителей. М: Машиностроение. 2000 г.
4. Е.Н. Бондарев, В.Т. Дубасов, Ю.А. Рыжов и др. Аэрогидромеханика. М.: Машиностроение. 1993 г.
5. А.Ф. Александров, Л.С. Богданкевич, А.А. Рухадзе. Основы электродинамики плазмы. М. Высшая школа. 1978 г.
6. А.Т. Форрестер. Интенсивные ионные пучки. М. Мир. 1992.
7. Б.В. Алексеев, В.А. Котельников. Зондовый метод диагностики плазмы. М. Энергоатомиздат. 1988 г.
8. Н.П. Козлов, А.И. Морозов под ред. Плазменные ускорители и ионные инжекторы. М. Наука. 1984 г.
9. В.М. Вержбицкий. Основы численных методов. М. Высшая школа. 2002 г.
10. К. Флетчер. Вычислительные методы в динамике жидкостей. М. Мир. 1991 г., т. 1, 2.
11. Р. Хокни, Дж. Иствуд. Численное моделирование методом частиц. М. Мир, 1987 г.
Вопросы для зачета
1. Полуэмпирические модели
2. Аппроксимация дифференциальных уравнений в методе конечных разностей.
3. Устойчивость разностных схем. Метод дискретных возмущений.
4. Устойчивость разностных схем. Спектральный признак устойчивости (метод фон Неймана).
5. Схемы второго порядка точности
6. Методы взвешенных невязок (общая теория)
7. Метод конечных объемов
8. Метод коллокаций
9. Метод Галеркина
10. Метод конечных элементов
11. Метод Фурье (спектральный метод)
12. Методы Монте-Карло (имитационное моделирование)
13. Метод крупных частиц
14. Метод граничных элементов
[1] Не говоря уже об их модификациях.
[2] Если задачу правильно поставить, она может стоять очень долго.
[3] Последний класс не имеет устоявшегося названия, вероятно потому, что многие специалисты другие классы вообще не признают.
[4] В большинстве случаев бывает достаточно определить лишь порядок этих величин.
[5]Строго говоря, формула доказывается для границы между областью квазинейтральности и областью, где квазинейтральность нарушается.
[6] Вероятно, за некоторые такие упрощения меня математики побьют.
[7] В просторечии называемый методом разных конечных
[8] Существуют и другие определения порядка аппроксимации.
[9] Иногда встречаются и другие названия
[10] Анализ свойств реально решаемых уравнений тоже является одним из способов анализа устойчивости разностных схем.
[11] Иногда такую терминологию применяют только для схем, где значения на первом шаге относятся к следующему моменту времени, т.е. tj+t, а на втором шаге используются неявные схемы.
[12] В некоторых книга борцы с космополитизмом чужестранные слова “предиктор» и «корректор» заменяют исконно русскими «прогноз» и «коррекция».
[13] Можно использовать везде единообразные соотношения для F, но тогда эквивалентная одношаговая схема будет использовать 4 точки на текущем слое.
[14] Существует и ее неявный аналог
[15] в данной записи все ионы считаются однозарядными
[16] Для их решения тоже нужны граничные условия. Как правило, таковыми являются значения параметров плазмы на границе плазма-слой.
[17] Вообще-то, существуют адаптивные сетки, где это можно всегда. Но у таких сеток свои проблемы, которые я здесь рассматривать не хочу.
[18] Строго говоря это даже и не функция, а функционал, который каждой функции ставит в соответствие ее значение в точке 0.
[19] Обычно получаются менее удобные функции, но их можно аппроксимировать полиномами.
[20] Иногда говорят, что функции определяются в узлах сетки, просто границы ячеек проходят не по линиям сетки, а между ними.
[21] У этих методов нет установившегося названия. Поэтому многие могут яростно критиковать меня за данное название.
[22] Здесь в русском названии наблюдается некоторая проблема перевода. Английское слово fluid обозначает подвижную среду, частными случаями которой могут быть жидкости и газы.
[23] Иногда методами крупных частиц называют группу методов, включающую в себя, в том числе, и рассматриваемый метод.
[24] С точки зрения математики это один из методов особенностей
|
|