Методика выполнения работы. Рассмотрим процесс остывания порции металла в лотке

Рассмотрим процесс остывания порции металла в лотке. Металл остывает за счет теплообмена с воздухом и лотком.

Исходное дифференциальное уравнение процесса с начальным условием:

(4)

Т _м(0) = Т ₀,

где и – площади соприкосновения металла с воздухом и металла с
лотком соответственно;

и – коэффициенты теплообмена на границе металл-воздух и металл-лоток соответственно;

Т _м и Т _лот – температуры металла и лотка соответственно,

;

τ – шаг по времени;

m – масса единичного объёма металла;

с – теплоёмкость металла

Найдём аналитическое решение дифференциального уравнения (4), подставив в него выражение для температуры лотка.

Введём подстановку:

Тогда:

(5)

В результате получено уравнение, с помощью которого возможно определить температуру металла в любой момент времени.

Для того чтобы решить уравнение численно, преобразуем уравнение (4):

Получили уравнение, описывающее изменение температуры металла за одну секунду. Для вычисления значения температуры металла в каждый последующий момент времени необходимо знать значение предыдущего шага. Тогда уравнение для определения температуры металла в каждый последующий момент времени будет выглядеть так:

(6)

При выполнении расчёта по уравнению (6), необходимо вычислять значение температуры лотка Т _лот для каждого шага вычислений. В данном примере Т _лот находили по формуле:

.

После ввода исходных данных и выполнения промежуточных вычислений (таблица 4.1), расчёта значений функций (таблица 4.2) представим оба решения на одном графике (рисунок 4.1).

Таблица 4.1

Ввод данных и выполнение промежуточных вычислений

Таблица 4.2

Расчёт значений функций

Рисунок 4.1 – Графическое представление аналитического и численного решений задачи

Можно видеть, что аналитическое и численное решения совпадают.