Краткие теоретические сведения. При изучении явлений природы, решении многих задач физики и техники, химии и биологии можно установить связь между величинами (функциями) и скоростями их

При изучении явлений природы, решении многих задач физики и техники, химии и биологии можно установить связь между величинами (функциями) и скоростями их изменения относительно независимых переменных величин, то есть найти уравнения, в которых неизвестные функции входят под знак производной. Эти уравнения называют дифференциальными.

Простейшим примером дифференциального уравнения первого порядка является уравнение

,

где f (x) – известная, а у = у (х) – искомая функции независимого переменного х. Для получения единственного решения указанного уравнения необходимо задать начальное условие

Дифференциальные уравнения решаются аналитически или численно. Аналитические способы решения некоторых видов ОДУ рассмотрены в методических указаниях к практическим занятием настоящего курса, а также в [21]. Численные способы решения ОДУ рассмотрены, например в [22]. Здесь приведем простейший способ решения задачи Коши.

(1)

Для численного решения задачи 1 дифференциальные уравнения заменяются разностными.

При , получим приближенную запись вида

(2)

Из первого уравнения системы 2 получаем расчетный алгоритм

.

Следует помнить, что прежде чем решать задачу (1) численно, необходимо проверить существование и единственность решения этой задачи.

Это можно сделать с помощью следующей теоремы.

Теорема существования и единственности решения уравнения

(3)

с начальным условием .

Пусть в замкнутой области функции непрерывны. Тогда на некотором отрезке r wsp: rsidR=" 00000000" > < w: pgSz w: w=" 12240" w: h=" 15840" /> < w: pgMar w: top=" 1134" w: right=" 850" w: bottom=" 1134" w: left=" 1701" w: header=" 720" w: footer=" 720" w: gutter=" 0" /> < w: cols w: space=" 720" /> < /w: sectPr> < /w: body> < /w: wordDocument> "> существует единственное решение уравнения (3), удовлетворяющее начальному условию .

При этом можно взять , где a и b указаны выше, а m – любое такое, что .

Последовательные приближения, определяемые формулами

Равномерно сводится к решению на указанном отрезке.

Замечание. Для существования решения достаточно только непрерывности в области R, но при этом решение может не быть единственным.