Выбор способов решения задач моделирования

На этапе программной реализации модели необходимо выбрать методы решения задач моделирования. Обычно используются три основные группы методов:

· графические – методы основанные на построении и анализе графиков;

· аналитические – методы дающие решения в виде аналитических выражений;

· численные – методы основанные на применении различных численных методов.

Графические методы используются в сложных исследованиях крайне редко, в лучшем случае для предварительного отбора методов и оценочного определения их применимости.

Аналитические методы имеют то важное достоинство, что при наличии точных решений математических уравнений, описывающих некоторое явление, можно строго предсказать ожидаемые результаты при любых допустимых значениях используемых в модели параметров. К сожалению, использование аналитических методов в реальной жизни достаточно ограничено, поскольку для их успешной реализации приходится сильно упрощать формулировки изучаемых задач. Более типично использование аналитических методов в сочетании с численными. Например, если уравнения используемой математической модели могут в определенных диапазонах исходных параметров быть упрощены до уравнений, допускающих строгие аналитические решения, то такие решения служит важным средством проверки результатов общего численного решения.

Основным средством реализации математических моделей для задач современного материаловедения является вычислительный эксперимент на компьютере. В компьютерном эксперименте, в отличие от натурного, начальные данные и граничные условия моделируемой задачи полностью контролируются, так что можно подробно изучить влияние каждого отдельного параметра задачи на общее поведение системы. В связи с этим вычислительный эксперимент позволяет объяснить следствия, вытекающие из предположений, заложенных в математическую модель.

В отличие от аналитического подхода, любое получаемое с помощью компьютера решение является приближенным. Основными источниками погрешности являются:

1) приближенное описание реального процесса с помощью сформулированной математической модели (погрешность модели);

2) погрешности в исходных данных, так как они являются результатами экспериментальных измерений или решениями вспомогательных задач;

3) при вводе исходных данных в компьютер и при выполнении операций производятся округления (вычислительная погрешность);

4) применяемые для решения задачи методы в большинстве случаев являются приближенными (погрешность метода расчета).

Погрешности вида 1 однозначно связаны с используемой математической моделью и для их уменьшения требуется вернуться к этапу построения и уточнения математической, а часто и концептуальной модели, Погрешности вида 2 не связаны с собственно математической моделью, однако их наличие может в каких-то случаях сильно искажать окончательные предсказания численного расчета. Устранение этих погрешностей возможно только путем проведения дополнительных экспериментов или расчетов для уточнения используемых исходных данных. Вычислительные погрешности при правильной постановке задачи оказывают влияние на результат крайне редко, поскольку точность представления чисел в современных компьютерах достаточно велика. Однако встречаются случаи, когда вычислительные погрешности могут оказаться критическими, что заставляет резко усложнять вычислительные схемы или разрабатывать специальные методы решения поставленной задачи. Наконец, минимизация погрешности методов расчета и составляет сущность грамотного выбора схемы численного воплощения математической модели.

Одним из обязательных требований при построении математической модели и выборе методов ее решения является обеспечение устойчивости решения задачи. Устойчивость решения задачи означает, что оно может быть найдено со сколь угодно малой погрешностью, если только погрешность входных данных достаточно мала. Однако на практике точность входных данных ограничена (величиной гораздо большей, чем машинная точность чисел, округляемых при вводе в память компьютера). Как влияют малые, но конечные погрешности входных данных на решение? Как сильно они искажают результат?

Ответы на эти вопросы дает понятие обусловленности задачи. Задачу называют хорошо обусловленной, если малым погрешностям входных данных отвечают малые погрешности решения, и плохо обусловленной, если возможны сильные изменения решения. Часто возможно ввести количественную оценку степени обусловленности – число обусловленности – его можно интерпретировать как отношение возможного возрастания погрешности в решении к вызвавшей его погрешности входных данных. Для плохо обусловленных задач этот коэффициент много больше единицы. Критерий хорошей или плохой обусловленности задачи зависит не только от уровня обеспечиваемой точности исходных данных, но и от требований к точности решения. Например, если требуется найти решение с точностью 0, 1, а входная информация задается с точностью в 0, 02, то при коэффициенте обусловленности, равном 10, обусловленность задачи будет плохая. Однако если исходные данные заданы с точностью 10^-4, то задача является хорошо обусловленной даже при коэффициенте обусловленности равном 10³.

Используемые численные методы можно условно разделить на следующие основные классы:

- прямые (точные) методы, с помощью которых решение может быть получено за конечное число элементарных арифметических операций. Многие из прямых методов не применимы в компьютерных расчетах из-за чувствительности к ошибкам округления;

- методы аппроксимации, заменяющие решение задачи другой, решение которой близко к решению исходной задачи. К этому типу относятся, например, конечно-разностные методы, решающие дифференциальные уравнения путем сведения их к алгебраическим путем замены производных конечными разностями.

- итерационные методы – методы последовательных приближений (итераций) к решению задачи. В рамках этих методов изначально задается некоторое приближенное решения и дальше каким-то образом последовательно уточняется. Если эта последовательность решений в конечном итоге все лучше и лучше приближается к точному решению, то говорят, что итерационный процесс сходится. Множество начальных значений, для которых метод сходится, называется областью сходимости метода.

- событийно-ориентированные методы – методы основанные не рассмотрении последовательностей связанных между собой событий. Особенно характерными представителями таких методов является различные варианты статистических методов Монте-Карло. В каких-то случаях такие методы являются способом решения уравнений описывающих поведение рассматриваемой системы, но возможны случаи, когда математическая модель вообще не описывается никакими уравнениями.

Особенно внимательно следует подходить к выбору методов решения некорректных задач, для которых обычные численные методы вычислительной математики, как правило, неприменимы. Для их решения необходимо применять специально разработанные методы решения некорректно поставленных задач (например, метод регуляризации, предложенный А.Н. Тихоновым).