Типы вычислительного эксперимента

При исследовании нового процесса или явления обычный подход связан с проведением поисковых вычислительных экспериментов. Как правило, такой эксперимент заключается в построении некоторой математической модели и проведении численных расчетов по этой модели с различными исходными параметрами. В основе математической модели лежит описание процесса на языке математических уравнений и соотношений, а в расчетном цикле эти уравнения решаются численными методами. В результате проведения поискового вычислительного эксперимента выясняются механизмы и особенности исследуемых явлений и прогнозируется поведение исследуемых объектов в тех или иных условиях, возможно и не достижимых в реальных условиях. Такой тип вычислительного эксперимента характерен при проведении теоретических исследований в фундаментальных науках.

С другой стороны, при математическом моделировании технологических процессов в качестве основного часто применяются оптимизационные вычислительные эксперименты. При этом предполагается, что исследуемый объект или процесс можно описать некоторой уже отработанной математической моделью, а основной целью вычислительного эксперимента является выявление тех условий, которые оптимизировали бы те или иные свойства или параметры изучаемой системы, позволяя например уменьшить затраты на изготовление какой-то конструкции, облегчить ее и т.п. Характерным примером могут служить задачи оптимального управления для уравнений математической физики, например, граничного управления, когда граничные условия подбираются так, чтобы минимизировать некоторый функционал (функционал качества). В этом случае проводятся многовариантные расчеты с целью подобрать такие управляющие параметры, которые дадут наиболее выгодное решение для выбранных критериев оптимизации.

При обработке данных натурных экспериментов используется диагностический вычислительный эксперимент. Диагностический вычислительный эксперимент аналогичен решению обратной задача математической физики. Структура математической модели описывающей исследуемое явление или процесса при этом известна, а задачей численного эксперимента является выяснение параметров модели (например значений коэффициентов в математических уравнениях описывающих процесс) в конкретных условиях исходя из результатов имеющихся косвенных измерений.

Часто приходится сталкиваться с положением, когда адекватная математическая модель исследуемого объекта или процесса отсутствует и создать ее не представляется возможным. Такая ситуация характерна, в частности, при обработке данных натурных экспериментов. В этом случае проводятся аппроксимационные компьютерные эксперименты: исследуемый объект рассматривается как " черный ящик" и задачей является подбор некоторой формальной модели, позволяющей по имеющемуся набору экспериментальных данных предсказать ожидаемые результаты эксперимента в иных экспериментальных условиях.

Планирование вычислительного эксперимента

Для практических задач современно материаловедения часто оказывается недостаточным применение одной единственной математической модели. Часто для описания поведения материалов приходится использовать наборы взаимосвязанных математических моделей, каждая их которых отражает свои стороны изучаемого явления. Характерной особенностью такого комплексного подхода является многообразие уравнений, описывающих эти модели. Используемые в разных моделях уравнения могут принадлежать к различным типам (гиперболическим, параболическим, эллиптическим или уравнениям переменного типа), что приводит к различной постановке начальных и краевых задач. Это накладывает дополнительные требования на применяемые численные методы.

Типична ситуация, когда исследуемые процессы являются нелинейными и эволюционными, и эти же свойства присущи описываемым ими системам уравнений. Теория таких уравнений изучена недостаточно, для большинства задач не доказаны теоремы существования и единственности решений, более того, их решения могут быть неединственными и разрывными даже при гладких начальных данных. Переход к многомерным задачам и усложнение расчетных областей вносят дополнительные трудности. При отсутствии строгих доказательств существования и единственности их решений остается вопрос о соответствии физико-математической модели исследуемому явлению. При недостаточной информации об исследуемом процессе возникает необходимость рассмотрения спектра моделей, учитывающих основные закономерности изучаемого явления при различных диапазонах исследуемых параметров. Таким образом, выбор и формулировка физико-математических моделей становится многопараметрической задачей.

В этой ситуации еще до начала моделирования исследователь должен ответить для себя на ряд вопросов.

1. Какова конечная цель исследования и какие данные ожидается получить, решив поставленную задачу моделирования?

2. Какова точность предполагаемой модели или набора моделей, достаточна ли она для того чтобы гарантировать надежную интерпретацию полученных результатов?

3. Какие ресурсы надо привлечь для решения поставленной задачи и какие математические и технологические возможности имеются в наличии?

Фактически необходимо провести анализ всей технологической цепочки моделирования, на его основе сделать вывод о возможности решения задачи моделирования и сформулировать условия и требования, необходимые для ее решения.

Выбор моделей, адекватно описывающих исследуемое явление или изучаемый процесс, включает их математическое обоснование и корректную постановку начально-краевых задач. По современным представлениям для задач механики и физики все классы моделей могут быть условно разделены на четыре уровня:

1) аналитические приближения и линеаризованные уравнения;

2) нелинейные уравнения без учета диссипативных процессов;

3) нелинейные уравнения с учетом диссипативных процессов;

4) полные нестационарные модели, описываемые уравнениями с учетом реальных эффектов.

Выбор конкретных моделей, начиная от простейших (1-й уровень) до самых полных (3 - 4-й уровни), зависит от целей исследования и классов решаемых задач, необходимой точности решения, имеющихся в наличии математических и технических возможностей и других факторов. Исследуемые в современном материаловедении задачи настолько разнообразны и сложны, что невозможно сформулировать универсальные подходы для построения математических моделей и получения решений. Можно говорить только о направлениях исследований и основных тенденциях развития, которые включают:

· использование моделей всех уровней в зависимости от целей исследования;

· применение все более сложных моделей с целью учета большего числа реальных аспектов исследуемых явлений;

· более полное обоснование моделей и корректных постановок начально-краевых задач.

Для контроля правильности полученной модели используется ряд методов:

– анализ размерности – все отдельные слагаемые, входящие в левые и правые части расчетного выражения должны иметь одинаковую размерность. При возможности полезно проводить процедуру обезразмеривания вычисляемых выражений;

– проверка порядков и характеров зависимостей – параметры и переменные, которые в данной задаче выражены величинами более высокого порядка малости, могут буть исключены из рассмотрения как несущественные, что позволяет упростить дальнейшие расчеты и анализ их результатов. Характер изменения значений моделируемых величин должен соответствовать их реальному смыслу и не противоречить наблюдаемым данным;

– исследование предельных случаев – результаты моделирования при крайних значениях параметров модели, равных, как правило, нулю или бесконечности, не должны противоречить здравому смыслу (например, энергия реальной физической системы не может оказаться бесконечно большой, время протекания процесса – отрицательным и т.п.). Модель в предельных случаях как правило существенно упрощается, причем зачастую настолько что допускает построение точных аналитических выражений для изучаемых моделью зависимостей;

– проверка замкнутости и корректности математической задачи – система математических соотношений должна иметь единственное решение. Задача называется корректно поставленной, если:

1) решения задачи существуют при любых допустимых входных данных;

2) решение задачи единственно (однозначно определено);

3) решение непрерывно зависит от начальных данных, так что малые изменениям входных данных не приводят к серьезным погрешностям в окончательном результате.

Далеко не все практически важные задачи моделирования являются корректными. К некорректно поставленным задачам относятся обратные задачи во многих отраслях науки и техники (распознавания образов, спектроскопии, синтеза и многие другие). Свойство корректности задачи имеет важное значение для выбора метода решения. Строгий анализ корректности во многих случаях сложен, и ограничиваются проверкой соответствия количества неизвестных и связывающих их уравнений в рассматриваемой модели.

Поэтому основным критерием для проверки созданной компьютерной модели явления служит соответствие результатов численных расчетов данным натурных экспериментов.