А:в] – полуоткрытые интервалы

R- множество действительных чисел. Оно состоит из рациональных и ироциональных чисел.

Рациональные числа можно выразить в виде конечной или бесконечной периодической десятичной дроби. ¼ = 0, 25 1/3=0, 333

Числа, не являющиеся рациональными называются- ироциональными. Их представляют в виде бесконечно не периодической десятичной дроби.

Введение множества комплекстных чисел связано с тем, что в множестве действительных чисел не выполняется извлечение корня четной степени из отрицательного числа. Комплекстным числом z – называют упорядоченную пару чисел x: y

Алгебраическая формула комплекстного числа z=x+iy. Где x- действительная часть, а y- мнимая часть, i- мнимая единица. Если x=0, то z=iy – число мнимое, если y=0, то z=x- действительное число.

Вопрос 2 «Числовые промежутки. Окрестность (.)

А, в действительные числа а< в. Числовыми промежутками (интервалами) называют подмножества всех действительных чисел имеющие следующий вид.

[a: в]={x: а< x< в}- отрезок

(а: в)={x: а< x< в}-интервал

А: в) –полуоткрытые интервалы

а: в] – полуоткрытые интервалы

(-бесконечность: в)= {x: x< в} – бесконечные интервалы

а, в называются левым и правым концами промежутка. Пусть Х0 любое действительное число в (.) на числовой прямой. Окрестностью (.) называют любой интервал (а: в) содержащий эту точку в частности интервал (Х0-Е: Х0+Е) Е> 0 – эпсилан окрестностью (.) Х0 число Х0- называют центром, эпсилан – называют радиусом.

21. Уравнение касательной и нормали
Если точка Мо (хо; уо) точка касания, то угловой коэффициент касательной = f '(xо) пользуясь уравнением прямой проходящую через точку Мо в заданном направлении к у-уо =К(х-хо)
Запишем уравнение касательной
У-уо = F '(ХО) (Х-ХО)
Прямая перпендикулярна касательной в точке в точке касания наз. Нормальной кривой в этой точке.
Она перпендикулярна касательной следовательно Кнорм= -1: Ккас (угл. Коэф)
Кнорм= -1: Ккас = -1: f '(хо)

У-уо= -1: -f '(хо)* (х-хо) уравнения норм. проходящей через точку Мо
(f '(х)не равна 0)

22. Правила дифференцирования
Пусть u=u(x) V=V(x)
1. (u плюс минус v)= u 'плюс минус v '
2. (uv) '=u 'v+v 'u, в частности (cu) '= cu ' то есть постоянную можно вынести за знак производной
3. (u: v) '= u 'v-v 'u: v в квадрате
4. Дифференцирование сложной функции
У= f(u) u=f(x)
Y 'x=Y 'u*U 'x
5. Если у=f(х) х=f(y) следовательно У 'х= 1: Х 'у

Задача о скорости движущейся точки.

Пусть s = s (t) представляет з акон прямолинейного движения материальной точки.

Это уравнение выражает путь s, пройденный точкой, как функцию времени t.

Обозначим через Δ s путь, пройденный за промежуток времени Δ t от момента t до t + Δ t, т. е.
Δ s = s (t + Δ t) - s (t). Отношение называется средней скоростью точки за время от t до t + Δ t.

Чем меньше Δ t, т. е. чем короче промежуток времени от t до t + Δ t, тем лучше средняя скорость характеризует движение точки в момент времени t. Поэтому естественно ввести понятие скорости v в данный момент t, определив ее как предел средней скорости за промежуток от t до t + Δ t, когда Δ t→ 0:

Величина v называется мгновенной скоростью точки в данный момент t.

Задача о касательной к данной кривой. Пусть на плоскости хОу дана кривая уравнением у = f (х). Требуется провести касательную к данной кривой в данной точке . Так как точка касания дана, то для решения задачи потребуется найти только угловой коэффициент искомой касательной, т. е. tg φ — тангенс угла наклона касательной к положительному направлению оси Ох (рис.).
Через точки и проведем секущую Из рис. видно, что угловой коэффициент tg α секущей равен отношению —, где
Угловой коэффициент касательной к данной кривой в точке можно найти на основании следующего определения:
касательной к кривой в точке называется прямая , угловой коэффициент которой равен пределу углового коэффициента секущей , когда . Отсюда следует, что

12. Первый и второй замечательные пределы

При вычислении переделов выражений содержащих тригонометрические функции часто используют предел =1, который называется первым замечательным пределом.

Рассмотрим предел =e, заменим в этой формуле = ; = => =e.

Эти 2 равенства называются вторым замечательным пределом.

11. Признаки существования пределов

Не всякая ограниченная функция имеет предел.

Например: y=sin x; x→ ∞ не имеет предела.

Для выяснения вопроса о существовании предела использование определения предела не всегда удобно. Проще это сделать с помощью признаков существования пределов.

1) о пределе промежуточной функции

Если функция f(x) заключена между функциями φ (x) и g(x) стремящимися к одному и тому же пределу, то она стремится к этому же пределу.

2) о пределе монотонной функции

Если функция f(x) монотонна и ограничена при x< или при x> , то существует левый предел или правый предел .

30. (Правило Лопиталя).

Пусть функции и удовлетворяют следующим условиям:

1) эти функции дифференцируемы в окрестности точки , кроме, может быть, самой точки ;

2) и в этой окрестности;

3) ;

4) существует конечный или бесконечный.

Тогда существует и , причем

31. ФОРМУЛА ТЕЙЛОРА

В определении функции у=ƒ (х) не говорится о том, при помощи каких средств находятся значения у по значениям х. В тех случаях, когда функция является формулой вида у=х³/5-5х+7, значения функции найти легко с помощью четырех арифметических действий. Но как найти значения, например, функций у=sinx, у=ln(1+х) при любых (допустимых) значениях аргумента? Для того, чтобы вычислить значения данной функции у=ƒ (х), ее заменяют многочленом Р_n(х) степени n, значения которого всегда и легко вычисляемы. Обоснование возможности представлять функцию многочленом дает формула Тейлора.

24. Неявно заданная функция

Если функция задана уравнением у=ƒ (х), разрешенным относительно у, то функция задана в явном виде (явная функция).

Под неявным заданием функции понимают задание функции в виде уравнения F(x; y)=0, не разрешенного относительно у.

Всякую явно заданную функцию у=ƒ (х) можно записать как неявно заданную уравнением ƒ (х)-у=0, но не наоборот.

Не всегда легко, а иногда и невозможно разрешить уравнение относительно у (например, у+2х+cosy-1=0 или 2^у-х+у=0).

Если неявная функция задана уравнением F(x; у)=0, то для нахождения производной от у по х нет необходимости разрешать уравнение относительно у: достаточно продифференцировать это уравнение по x, рассматривая при этом у как функцию х, и полученное затем уравнение разрешить относительно у'.

Производная неявной функции выражается через аргумент х и функцию у.

45. Функции нескольких переменных: основные понятия, предел и непрерывность

Опр. Если каждой паре значений переменных хи у из множества Д по закону f соответствует одно значение переменной z из множества Е, то переменная z назыв. Функцией от 2-х переменных ху. Z=f(x: y)

Д-область определения ф-ии и представляет из себя множество точек плоскости. Е-область значений ф-ии и явл числовым промежутком

Опр. Окрестностью точки М_о(х_о; у_о) назыв. круг с центром в этой точке причем радиус круга назыв. Радиусом окрестности.

Опр. Точка назыв. Внутренней точкой области, если найдется такая окрестность этой точки, которая лежит в этой области.

Опр.: точка назыв граничной точкой области если в любой её окрестности есть точки принадлежащие не принадлежащие этой области.

Опр: Область назыв замкнутой, если она состоит из внутренних и граничных точек.

Опр: область назв. Открытой, если граница не принадлежит этой области.

Опр: Графиком ф-ии 2-х переменных явл. Поверхность в пространстве уравнением которой будут уравнения этой фун-ии.

Опр: число в называется пределом функции двух переменных при М→ , если их разность является БМВ, обозначается: в= ↔ /в-f(x; y)/ → 0(БМВ), ели /в-f(x; y)/ → α, альфа БМВ. Если М→ , х→ , y→ , то - Двойной предел. Замечание: для двойного предела, справедливы те же свойства пределов, так же как и для функции одной переменной. Вычисление двойного предела: ) Опред: функция двух переменных называется непрерывной в точке если функция существует в этой точке и значение пределов в этой точке равно значению функции в этой же точке.

44. Несобственные интегралы: интеграл по бесконечному промежутку, интеграл от неограниченной функции. Признаки сходимости несобственных интегралов

Ин интегралы с бесконечными пределами интегрирования или от разрывных функций называют несобственными.

1) несобственные интегралы с бесконечными пределами интегрирования

Определяются по средствам предельного перехода = (1)

= (2)

= , где c-произвольное действительное число

2) несобственные интегралы от функции с бесконечными разрывами

Также определяется по средствам предельного перехода.

Если функция y=f(x) имеет бесконечный разрыв в точке c [x=c ∈ [a, b]) и непрерывна во всех других точках этого отрезка, то

= +

Несобственные интегралы называют сходящимися или расходящимися в зависимости от того существует или нет определение их пределы соответствующих определённых интегралов.

Признаки сходимости несобственных интегралов

В некоторых случаях нет необходимости вычислять несобственный интеграл, а достаточно лишь знать, сходится он или расходится. В таких случаях часто бывает полезным сравнить данный несобственный интеграл с другим несобственным интегралом, сходимость или расходимость которого известна. Приведём без доказательства теоремы, устанавливающие признаки сходимости или расходимости, основанные на сравнении несобственных интегралов.

Теорема 1: Пусть в интервале [a, + ) функции f(x) и (x) непрерывны и удовлетворяют неравенствам 0≤ (x)≤ f(x). Тогда:

а) если интеграл сходится, то сходится и интеграл

б) если интеграл расходится, то интеграл также расходится.

Теорема 2: Пусть функции f(x) и (x) в интервале [a, b) непрерывны и удовлетворяют неравенствам 0≤ (x)≤ f(x), а в точке x=b имеют разрыв. Тогда:

а) если интеграл сходится, то сходится и интеграл

б) если интеграл расходится, то интеграл также расходится.

3-4. Если задана функция , которая определена на множестве и принимает значения в множестве , то есть, функция отображает множество в , то

• этот факт коротко записывают в виде или .
• область определения функции (множество ) обозначается , или ;
• область значений функции (множество ) обозначается (), или ().
• Наличие функциональной зависимости между элементом и элементом наиболее часто обозначается как

,

или

;

• реже используется обозначение без скобок , или ,
• а там, где необходимо подчеркнуть двойственность, используются обозначения со скобками: или ;
• также существует и операторное обозначение , которое можно встретить в общей алгебре.
• в лямбда-исчислении Чёрча.

· Функции нескольких аргументов

·

·

· График функции двух переменных:

· Определение функции легко обобщить на случай функции многих аргументов.

· Если множество представляет собой декартово произведение множеств , тогда отображение оказывается -местным отображением, при этом элементы упорядоченного набора называются аргументами (данной -местной функции), каждый из которых пробегает своё множество:

· где .

· В этом случае означает, что .

· Способы задания функции

· Аналитический способ[

· Функция как математический объект представляет собой бинарное отношение, удовлетворяющее определенным условиям. Функцию можно задать непосредственно как множество упорядоченных пар, например: есть функция . Однако, этот способ совершенно непригоден для функций на бесконечных множествах (каковыми являются привычные вещественные функции: степенная, линейная, показательная, логарифмическая и т. п.).

· Для задания функции пользуются выражением: . При этом, есть переменная, пробегающая область определения функции, а — область значений. Эта запись говорит о наличии функциональной зависимости между элементами множеств. х и y могут пробегать любые множества объектов любой природы. Это могут быть числа, векторы, матрицы, яблоки, цвета радуги. Поясним на примере:

· Пусть имеется множество яблоко, самолет, груша, стул и множество человек, паровоз, квадрат . Зададим функцию f следующим образом: (яблоко, человек), (самолет, паровоз), (груша, квадрат), (стул, человек) . Если ввести переменную x, пробегающую множество и переменную y, пробегающую множество , указанную функцию можно задать аналитически, как: .

· Аналогично можно задавать числовые функции. Например: , где х пробегает множество вещественных чисел, задает некоторую функцию f. Важно понимать, что само выражение не является функцией. Функция, как объект, представляет собой множество (упорядоченных пар). А данное выражение, как объект, есть равенство двух переменных. Оно задает функцию, но не является ею.

· Однако, во многих разделах математики, можно обозначать через f(x) как саму функцию, так и аналитическое выражение, ее задающее. Это синтаксическое соглашение является крайне удобным и оправданным.

· Графический способов

· Числовые функции можно также задавать с помощью графика. Пусть — вещественная функция n переменных.

· Рассмотрим некоторое (n+1)-мерное линейное пространство над полем вещественных чисел (так как функция вещественная). Выберем в этом пространстве любой базис (). Каждой точке функции сопоставим вектор: . Таким образом, мы будем иметь множество векторов линейного пространства, соответствующих точкам данной функции по указанному правилу. Точки соответствующего аффинного пространства будут образовывать некоторую поверхность.

· Если в качестве линейного пространства взять евклидово пространство свободных геометрических векторов (направленных отрезков), а число аргументов функции f не превосходит 2, указанное множество точек можно изобразить наглядно в виде чертежа (графика). Если сверх того исходный базис взять ортонормированным, получим «школьное» определение графика функции.

· Для функций 3 аргументов и более такое представление не применимо ввиду отсутствия у человека геометрической интуиции многомерных пространств.

· Однако, и для таких функций можно придумать наглядное полугеометрическое представление (например каждому значению четвертой координаты точки сопоставить некоторый цвет на графике).

Числовая последовательность — это последовательность элементов числового пространства. Пусть — это либо множество вещественных чисел, либо множество комплексных чисел. Тогда последовательность элементов множества называется числовой последовательностью

Суммой числовых последовательностей и называется числовая последовательность такая, что .

Разностью числовых последовательностей и называется числовая последовательность такая, что .

Произведением числовых последовательностей и называется числовая последовательность такая, что .

Частным числовой последовательности и числовой последовательности , все элементы которой отличны от нуля, называется числовая последовательность . Если в последовательности на позиции всё же имеется нулевой элемент, то результат деления на такую последовательность всё равно может быть определён, как последовательность .

Предел последовательности — это объект, к которому члены последовательности приближаются с ростом номера. Так в произвольном топологическом пространстве пределом последовательности называется элемент, в любой окрестности которого лежат все члены последовательности, начиная с некоторого. В частности для числовых последовательностей предел — это число, в любой окрестности которого лежат все члены последовательности начиная с некоторого.

Частичный предел последовательности — это предел одной из её подпоследовательностей. У сходящихся числовых последовательностей он всегда совпадает с обычным пределом.

Верхний предел последовательности — это наибольшая предельная точка этой последовательности.

Нижний предел последовательности — это наименьшая предельная точка этой последовательности.

Свойства ограниченных последовательностей[править | править исходный текст]

• Ограниченная сверху числовая последовательность имеет бесконечно много верхних граней.
• Ограниченная снизу числовая последовательность имеет бесконечно много нижних граней.
• Ограниченная последовательность имеет по крайней мере одну предельную точку.
• У ограниченной последовательности существуют верхний и нижний пределы.
• Для любого наперёд взятого положительного числа все элементы ограниченной числовой последовательности , начиная с некоторого номера, зависящего от , лежат внутри интервала .
• Если за пределами интервала лежит лишь конечное число элементов ограниченной числовой последовательности , то интервал содержится в интервале .
• Справедлива теорема Больцано — Вейерштрасса. Из любой ограниченной последовательности можно выделить сходящуюся подпоследовательность.