Модель Леонтьева.

Лекция №3

Применение матриц в задачах межотраслевого баланса.

Основные понятия темы:

1. Модель Леонтьева многоотраслевой экономики. Матрицы коэффициентов прямых и полных затрат, их экономический смысл. Уравнение зависимости между валовой и конечной продукцией.

2. Модель равновесных цен.

Модель Леонтьева.

Цель балансового анализа – ответить на вопрос, связанный с эффективностью ведения многоотраслевого хозяйства: каким должен быть объем производства каждой из n отраслей, чтобы удовлетворить все потребности в продукции этой отрасли? Связь между отраслями отражается в таблице межотраслевого баланса, а математическая модель, позволяющая их анализировать, разработана в 1936 г. американским экономистом В. Леонтьевым.

Предположим, что рассматривается n отраслей промышленности, каждая из которых производит свою продукцию.

Продукция каждой отрасли идет на:

1) внутрипроизводственное потребление

(используется в качестве сырья, полуфабрикатов и средств производства в других отраслях, в том числе и в данной);

2) внепроизводственное потребление (конечный продукт Y – используется для накопления и возмещения основных фондов, прироста запасов, на личное потребление и обслуживание населения, оборону, экспорт и т.д.).

Рассмотрим математическую модель (ММ) межотраслевого баланса производства и распределения продукции в народном хозяйстве в стоимостном выражении за один отчетный период времени (например, год).

Введем следующие обозначения:

X_i – общий (валовой) объем продукций i -ой отрасли (i = 1, 2, …, n)

i - номер любой производящей отрасли; j - номер любой потребляющей отрасли.

x_ij - стоимость части продукции (средств производства), произведенной в i -й отрасли и потребляемой в качестве материальных затрат в j -й отрасли для производства ее валовой продукции (i, j=1, 2, …, n).

Y_i –затраты продукции i -ой отрасли вне сферы материального производства, т.е. для целей конечного потребления (удовлетворение спроса населения, накопление, экспорт, военные нужды) для непроизводственного потребления.

В столбцах межотраслевого баланса отражается структура материальных затрат и чистой продукции каждой отрасли.

Так первый столбец x₁₁, x_12,..., x_1n характеризует структуру материальных затрат 1-й отрасли за отчетный год. Элемент x₁₁ показывает стоимость продукции 1-й отрасли для собственных нужд, x₂₁ отражает затраты на продукцию 2-й отрасли для нужд 1-й отрасли. Кроме материальных затрат, в балансе отражена чистая продукция отраслей. Так, чистая продукция 1-й отрасли характеризуется суммой оплаты труда V₁ и чистого дохода (прибыли) m₁. Сумма материальных затрат и чистой продукции равна валовой продукции отрасли.

Можно записать систему уравнений по столбцам:

В строках межотраслевого баланса содержатся данные о распределении годового объема продукции каждой отрасли материального производства.

Т.к. валовой объем продукции любой i - ой отрасли равен суммарному объему продукции, потребляемой n отраслями, и конечного продукта, то по данным строк можно составить следующую систему уравнений

Уравнения (*) называются соотношениями баланса.

В схеме баланса выделяют четыре части, которые называются квадрантами балансами.

В 1 -м квадранте содержатся межотраслевые потоки средств производства. По форме он представляет собой квадратную матрицу. Данные 1 -го квадранта играют важную роль в анализе структуры материальных затрат отраслей.

Во 2 -м квадранте представлена конечная продукция всех отраслей материального производства, т.е. продукция, выходящая из сферы производства в область конечного использования – на потребление и накопление. Таким образом, данные 2-го квадранта характеризуют отраслевую материальную структуру национального дохода.

Показатели 3 -го квадранта также характеризуют национальный доход со стороны его стоимостного состава как сумму оплаты труда и чистого дохода всех отраслей материального производства.

4 -й квадрант отражает конечное распределение и использование национального дохода.

Введем коэффициенты прямых затрат

показывающие затраты продукции i-ой отрасли на производство единицы продукции j -ой отрасли. Можно полагать, что в некотором промежутке времени коэффициенты будут постоянными и зависящими от сложившейся технологии производства. Это означает линейную зависимость материальных затрат от валового выпуска, т.е.

,

вследствие чего построенная на этом основании модель межотраслевого баланса получила название линейной.

Теперь соотношение баланса (*) примут вид:

Обозначим

,

Где X - вектор валового продукта, Y - вектор конечного продукта, A - матрица прямых затрат (технологическая или структурная матрица). Все элементы матрицы A неотрицательны и .

Тогда систему (*) можно записать в матричном виде:

(3.1)

Уравнение (3.1) представляет собой систему балансовых уравнений, описывающую экономико-математическую модель межотраслевого баланса (модель В.В. Леонтьева).

Основная задача межотраслевого баланса состоит в отыскании такого вектора валового выпуска X, который при известной матрице прямых затрат А обеспечивает заданный вектор конечного продукта Y.

Перепишем уравнение (3.1) в виде:

(E-A)X=Y, (3.2)

где .

Матрица (E-A) называется матрицей Леонтьева.

Если матрица (E-A) невырожденная, т.е. , то по формуле матричного метода (для системы )

Получаем уравнение, которое выражает зависимость валовой продукции каждой отрасли от конечной продукции всех отраслей.

Обозначим , а ее элементы через d_ij, тогда

Матрица называется матрицей коэффициентов полных затрат.

Элементы d_ij (i=1, …, n; j=1, …, n) называются коэффициентами полных материальных затрат. Они включают в себя как прямые, так и косвенные затраты продукции отрасли i на единицу продукции отрасли j.

Если прямые затраты отражают количество средств производства, израсходованных непосредственно при изготовлении данного продукта, то косвенные относятся к предшествующим стадиям производства и входят в продукт не прямо, а через другие средства производства.

Матрица коэффициентов косвенных затрат:

Коэффициенты полных затрат можно использовать и при планировании на следующий отчетный период. Например, если конечную продукцию j-й отрасли увеличить на 1 единицу, то при этом валовый выпуск всех отраслей изменится соответственно на величины d_1j, d_2j, …, d_nj, которые являются элементами j–го столбца матрицы коэффициентов полных затрат . Положив j=1, 2, …, n, это утверждение можно распространить на все отрасли.

Матрица называется продуктивной, если для любого вектора существует решение уравнения (3.2). В этом случае и модель Леонтьева продуктивна.

Существует несколько критериев продуктивности матрицы А. Один из них говорит о том, что матрица А продуктивна, если максимум сумм элементов ее столбцов не превосходит единицы, т.е. матрица А продуктивна, если и , и существует номер j такой, что .

В таблицу межотраслевого баланса, кроме производственных затрат можно включить затраты труда, капиталовложений и т.д. Они заносятся в таблицу как (n+1)-я, (n+2)-я, … дополнительные строки. Тогда x_{n+1, j} выражают дополнительные затраты труда в j–ю отрасль, а x_{n+2, j} (j=1, 2, …, n) –затраты капиталовложений.

Введем в рассмотрение коэффициенты прямых затрат труда и капиталовложений .

Дописав эти коэффициенты в виде дополнительных строк в матрицу A, получим прямоугольную матрицу коэффициентов прямых затрат :

При решении балансовых уравнений используется лишь основная часть матрицы (матрица A). При расчетах же затрат труда и капиталовложений, необходимых для выпуска данного конечного продукта, принимают участие и дополнительные строки.

Суммарные затраты труда, необходимые для производства единицы конечного продукта j- ой отрасли, равны:

.

Эти величины называются коэффициентами полных затрат труда.

Суммарные затраты капиталовложений, необходимые для производства единицы конечного продукта j- ой отрасли, равны:

.

Эти величины называются коэффициентами полных затрат капиталовложений.

Дополнив матрицу строками d_{n+1, j}, d_{n+2, j}, получим расширенную матрицу коэффициентов полных затрат:

Пользуясь этой матрицей, можно рассчитать при любом заданном ассортименте конечной продукции Y не только необходимый валовый выпуск продукции X, но и необходимые затраты труда X_n+1, капиталовложений X_n+2:

,

т.е. суммарное количество затрат труда и капиталовложений, необходимых для обеспечения конечной продукции Y=(Y₁, Y₂, …, Y_n):

.

Пример. Дан межотраслевой баланс межотраслевой модели хозяйства

№ отрасли потребления				Конечный продукт	Валовый продукт
№ отрасли производства

Определить:

1) технологическую матрицу;

2) матрицу коэффициентов полных затрат;

3) матрицу коэффициентов косвенных затрат;

4) определить валовый выпуск на новый ассортимент конечной продукции .

5) дать экономический анализ каждого столбца матрицы коэффициентов полных затрат;

Решение.

1)Находим коэффициенты прямых затрат:

Матрица прямых затрат имеет неотрицательные элементы .

2) Найдем матрицу полных затрат.

Вычислим

Обозначим E-A=D и вычислим алгебраические дополнения матрицы D.

Присоединенная матрица:

По формуле нахождения обратной матрицы:

-матрица коэффициентов полных затрат.

3) матрица коэффициентов косвенных затрат:

4) Найдем валовый выпуск на новый ассортимент конечной продукции по формуле: ,

т.е. валовой выпуск первой отрасли на новый ассортимент конечной продукции 439, 112 условных единиц, второй отрасли 253, 488 условных единиц, третьей отрасли 297, 886 условных единиц.

5. Экономический анализ

Столбец с номером j матрицы коэффициентов полных затрат означает какой необходим ассортимент (в валовом исчислении) производства продукции различных отраслей для производства одной единицы конечного продукта j-ой отрасли.

Первый столбец означает, что для того, чтобы получить для потребления одну единицу продукции предприятия 1-ой отрасли нужно произвести 1, 395 единиц продукции 1-ой отрасли, 0, 233 единиц продукции 2-ой отрасли, 0, 465 единиц продукции 3-ей отрасли.

Второй столбец означает, что для того, чтобы получить для потребления одну единицу продукции предприятия 2-ой отрасли нужно произвести 0, 613 единиц продукции 1-ой отрасли; 1, 163 единиц продукции 2-ой отрасли; 0, 507 единиц продукции 3-ей отрасли.

Третий столбец означает, что для того, чтобы получить для потребления одну единицу продукции предприятия 3-ой отрасли нужно произвести 0, 973 единиц продукции 1-ой отрасли, 0, 465 единиц продукции 2-ой отрасли, 1, 839 единиц продукции 3-ей отрасли.