Свойства (умножения матриц).

1) Ассоциативность умножения матриц, т.е., справедливо .

Доказательство. Из определения 5 следует, что элемент матрицы равен , а элемент матрицы равен . Равенство следует из возможности изменения порядка суммирования.

2) Дистрибутивность сложения относительно умножения, т.е.,

, .

, .

Доказательство следует из определения суммы и произведения матриц.

3) .

Доказательство. Пусть , и . Тогда . Здесь – символ Кронекера.

.

4) .

5) .

Доказательство свойств 4)-5) проводится аналогично свойству 3).

6) .

Теорема 2. Множество квадратных матриц порядка над кольцом относительно операций сложения матриц и умножения матриц образует кольцо с единицей.

Доказательство. Из теоремы 1 – абелева группа. Так как любые матрицы из согласованы умножение определено. Дистрибутивность и ассоциативность умножения следует из свойств 2) и 1). Свойство 3) демонстрирует наличие единицы.■

Замечание. В общем случае произведение матриц не коммутативно. Например,

.

Но из свойств 4) и 5) умножение квадратной матрицы на и коммутирует. Также коммутирует умножение квадратной матрицы на скалярную.

3^о. Блочные матрицы.

Пусть матрица при помощи горизонтальных и вертикальных прямых разбита на отдельные прямоугольные клетки, каждая из которых является матрицей меньших размеров и называется блоком исходной матрицы. В этом случае рассматривается как некоторая новая, блочная матрица , элементами которой являются блоки указанной матрицы ( – элементы матрицы, поэтому заглавное). Здесь – номер блочной строки, – столбца.

Например, если

, то ,

, , .

Замечательным является факт, что операции с блочными матрицами совершаются по тем же правилам, что и обычными, только в роли элементов выступают блоки. Действительно, если , то , где вычисляется по обычному правилу умножения матрицы на число. Аналогично, если и имеют одинаковые порядки и одинаковым образом разбиты на блоки, то сумме отвечает блочная матрица : .

Для умножения на необходимо согласовать их разбиение на блоки, т.е. число столбцов каждого блока равно числу строк блока . Тогда .

Для доказательства необходимо расписать правую и левую части в терминах обычных элементов матриц . Пусть . Если , то и , откуда следует, что

, что и требовалось доказать.

Пример. Пусть , , т.е.,

, ,

где

,

.

Тогда . Аналогично находятся остальные . В результате получаем

.

В качестве применения блочных матриц рассмотрим

Определение 6. Прямой суммой квадратных матриц порядков соответственно называется квадратная матрица порядка : .

Обозначение: .