Применение собственных значений матриц и собственных векторов в строительных расчетах. Постановка задачи и методы решения.

Явные и неявные схемы разностной аппроксимации сеточных уравнений. Их преимущества и недостатки. Алгоритм реализации явной схемы на примере решения уравнения теплопроводности.

Явная схема:

Ui, j+1

Ui-1, j Ui, j Ui+1, j

Устойчива только при λ < 1/2 или ԏ < =sqr(h)/2. Вычисления придется вести с очень малым шагом по времени. Число операций значительно меньше.

Неявная схема:

Ui-1, j+1 Ui, j+1 Ui+1, j+1

Ui, j

Устойчива при любых значениях параметра λ.

Алгоритм численного решения задачи теплопроводности следующий:

На нулевом временном слое j=0 решение известно из начального условия Ui, 0=f(xi), i=0, 1, …, n.

Также известны значения функции в левых и правых граничных узлах U0, j=мю1(tj); Un, j=мю2(tj);

В каждом следующем слое искомая функция определяется по формулам соответствующим явной и неявной схемам.

Для выполнения расчетов по разностным схемам важно такое их свойство, как устойчивость.

Применение собственных значений матриц и собственных векторов в строительных расчетах. Постановка задачи и методы решения.

2 группы алгоритма решения:

-итерационные методы

-методы преобразования подобия

В теории напряженного состояния тела, для тензоров напряжений собственные значения определяют главные норм-е напряжения, а собственными векторами задаются направления.

Собственные значения соответствуют собственным частотам колебаний. Позволяют определить критические нагрузки.

Собственные векторы характеризуют модули этих колебаний.

В общем виде задача на собственные значения форм-ся: AX= λ X, где А-матрица размерности n x n.

Требуется найти n скалярных значений λ и собственные векторы Х, соответствующие каждому из собственных значений.