Интегрирование по частям.

Формула интегрирования по частям имеет вид

Справедливость формулы вытекает из того факта, что

Интегрируя обе части получаем

Откуда

Формула интегрирования по частям сводит вычисление интеграла к вычислению интеграла . Метод интегрирования по частям применяют тогда, когда подынтегральное выражение представляет произведение двух дифференцируемых функций, при этом производная от одной из функций, проще по отношению к самой заданной функции.

Например:

1.

Полагаем и

Тогда и

следовательно

2.

Полагаем и

тогда и

следовательно

3.

Применим формулу интегрирования по частям дважды

Сначала положим и

тогда и

подставив полученные выражения будем иметь

Далее полагаем и

тогда и

4.

полагаем и

тогда и

Следовательно

Для интеграла, стоящего в правой части снова применим формулу интегрирования по частям

Полагаем и

тогда и

Подставляя найденные значения в формулу, будем иметь

Таким образом получим алгебраическое уравнение относительно исходного интеграла

Откуда