Задача №3. В установке (см. рисунок 2) известна масса однородного сплошного цилиндра , его радиус и массы тел

В установке (см. рисунок 2) известна масса однородного сплошного цилиндра , его радиус и массы тел , . Скольжения нити и трения в оси цилиндра нет. Найти угловое ускорение цилиндра, вращающий момент действующий на цилиндр и натяжения нити.

Рисунок 2

Дано: Решение:

m, Для определенности положим, что и

, тело массой поднимается вверх с ускорением

_____________________ , а тело с массой опускается вниз с тем же ускорением (см. рисунок 3). Направим

ось вверх, тогда второй закон Ньютона в проекциях на ось для тел массами

, запишется в виде (см. рисунок 3.):

, (1)

, (2)

где , - натяжения нити.

Запишем основной закон динамики вращательного движения:

, (4)

Вращающий момент действующий на цилиндр равен:

, (5)

таким образом, будем считать его положительным, если вращение цилиндра происходит по часовой стрелке.

Момент инерции сплошного цилиндра относительно оси вращения:

(6)

Рисунок 3

Далее умножим уравнения (1) и (2) на , и вычтем из второго уравнения первое:

. (7)

Так как , а так же учитывая выражение (5), тогда (7) перепишется в виде:

. (8)

С учетом выражений (4) и (6), уравнение (8) можно переписать виде:

,

откуда получим

. (9)

С другой стороны, с учетом тех же выражений (4) и (6), (8) можно переписать виде:

,

.

Из (1) выразим , при этом учитывая, что и выражение (9):

.

Аналогично из (2):

.