Главная страница Случайная страница Разделы сайта АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника |
Непрерывность линейного оператора
Определение 12.4. Оператор называют непрерывным в точке , если из условия следует . Теорема 12.2. Если линейный оператор непрерывен в одной точке , тогда он непрерывен в любой точке из . 3 Пусть x - произвольная точка из D (A) и . Тогда , и поскольку оператор А непрерывен в точке , то . Но по свойству аддитивности оператора . Поэтому , откуда и следует, что . 4 Теорема 12.3. Для того, чтобы линейный оператор был непрерывным, необходимо и достаточно, чтобы он был ограниченным. 3необходимости. Пусть непрерывный оператор неограничен. Таким образом, существует последовательность элементов (xn) такая, что . Пусть .Тогда Это значит, что . С другой стороны, . Поэтому при не стремится к нулю, а значит не стремится к нулю при : , что противоречит непрерывности оператора А. 4 3достаточности. Пусть линейный оператор ограничен, т.е. . Пусть , т.е. ; тогда и Þ , что определяет непрерывность . 4
|