Расчет плоской статически неопределимой рамы методом сил

З а д а н и е. Для рамы (рис.5) с выбранными по шифру из табл.5 размерами и нагрузкой требуется:

a) построить эпюры изгибающих моментов, поперечных и продольных сил;

б) проверить правильность построения эпюр.

Рис. 5

Т а б л и ц а 5

Первая цифра шифра

(м)

Вторая цифра шифра

(м)

Последняя цифра шифра и № схемы

кН

кН/м

1: 2

2: 3

1: 3

3: 1

2: 3

1: 3

2: 1

3: 2

3: 4

1: 2

У к а з а н и я к р е ш е н и ю з а д а ч и. Для упрощения расчета полезно придать основную систему симметричной.

Подсчет коэффициентов и свободных членов канонических уравнений обычно производится по способу Верещагина, предусматривающему построение единичных и грузовых эпюр изгибающих моментов в основной системе. Построение этих эпюр изгибающих особого внимания, так как именно здесь чаще всего отмечаются ошибки. Необходимо приводить все расчеты, включая определений опорных реакций. Ординаты эпюр должны быть отложены со стороны растянутых волокон.

После определения коэффициентов канонических уравнений рекомендуется произвести их проверку путем подсчета интеграла (по Верещагину):

где Результат должен совпадать с суммой всех коэффициентов канонических уравнений. Проверка правильности определения свободных членов (грузовых перемещений) проводится по формуле

Для построения окончательной эпюры изгибающих моментов удобнее предварительно построить эпюры от найденных значений неизвестных, умножая ординаты каждой единичной эпюры, а соответствующее значение неизвестного. Тогда момент в любой точке будет определяться формулой

где

Окончательную эпюру изгибающих моментов необходимо проверить пу­тем " умножения" ее на каждую единичную эпюру или на суммарную эпюру Результат должен быть равен нулю (возможна погрешность 1-2% ).

Построение эпюры поперечных сил (по эпюре моментов и нагрузке) не­обходимо сопровождать расчетами. При этом особое внимание надо обра­тить на правило знаков. При возрастании момента поперечная сила поло­жительна. При построении эпюры моментов со стороны растянутых волокон возрастание момента характеризуется наклоном вниз (слева направо). На участке, где эпюра криволинейна (под равномерно распределенной нагрузкой), определение ординат эпюры Q удобнее производить по формуле

где - " балочная" поперечная сила (найденная для данного участка как для простой балки на двух опорах);

- момент на правом конце участка (положителен, если онрастягивает нижние волокна);

- момент на левом конце участка (положителен при растяжении нижних волокон);

- длина участка.

Эпюра нормальных сил строится по эпюре поперечных сил путем выре­зания узлов (как принято при расчете ферм), начиная с узла, в котором количество неизвестных продольных сил не превышает двух. При выреза­нии каждого узла необходимо учитывать, что положительная поперечная сила вращает узел по ходу часовой стрелки, а отрицательная - против. После построения всех эпюр необходимо провести полную проверку равно­весия рамы целиком.

Студентам специальностей ПГС, СХС, ГС, АД построение эпюры реко­мендуется выполнять на ЭВМ. Решение такой задачи легко представить в виде ряда простых матричных операций. Как было указано в методических указаниях к задаче №4, коэффициенты канонических уравнений можно оп­ределить по следующей формуле:

а свободные члены по формуле:

где - матрица коэффициентов канонических уравнений;

- вектор свободных членов.

Остальные величины пояснены в указаниях к задаче №4. Канонические уравнения метода сил.

в матричной форме запишутся:

Решение систем:

где - обратная матрица.

Тогда

Таким образом, подготовка исходных данных для реализации решения задачи на ЭВМ заключается в формировании всего трех матриц:

а) матрица единичных моментов ;

б) матрица-столбец (вектор) грузовых моментов ;

в) матрица жесткости .

При этом следует иметь в виду, что число элементов векторов ; ; и должно быть одинаковым и равным числу столбцов матрицы , т. е. если на каком-либо участке эпюра грузовых моментов очерчена по параболе (вводится величина ), то и на всех единичных эпюрах на этом участке следует ввести среднюю ординату и использовать соответствующую частную матрицу жесткости . Как и в предыдущей задаче, для всех матричных операций используются стандартные программы.

Эпюры Q и N строятся по эпюре М, как указано выше.