Часть 2. Статически неопределимые стержневые системы

Задание 6. Расчет плоской статически неопределимой рамы методом сил

Для статически неопределимой рамы (рис. 16, 17) с выбранными по шифру из табл. 10 размерами и нагрузкой требуется:

а) построить эпюры ;

б) выполнить кинематическую проверку.

Таблица 10

Первая цифра шифра
P 1, кН
P 2, кН
P 3, кН
l, м
Вторая цифра шифра
q 1, кН/м
q 2, кН/м
q 3, кН/м
h, м
Третья цифра шифра (№ схемы)
	1: 2	2: 3	1: 3	1: 3	2: 3	1: 3	2: 1	3: 2	3: 4	1: 2

Методические указания. Для расчета статически неопределимой рамы методом сил следует предварительно найти степень статической неопределимости (ССН) и выбрать основную систему (ОС). С целью уменьшения трудоемкости расчета рекомендуется принять симметричную ОС. При построении в ОС единичных и грузовой эпюр необходимо приводить определение опорных реакций. Коэффициенты податливости и свободные члены канонических уравнений метода сил определяются по формулам

. (6.1)

Здесь - изгибающие моменты, возникающие в ОС соответственно от сил и заданной нагрузки; ССН.

Для построения окончательных эпюр необходимо определить реакции опор в ОС с учетом найденных значений сил и заданной нагрузки и рассчитать ОС как статическую определимую систему.

Кинематическая проверка осуществляется по формуле

. (6.2)

Интегралы в (6.1) и (6.2) вычисляются либо по правилу Верещагина, либо с помощью соответствующих формул перемножения эпюр (см. методические указания к выполнению задания 4).

Пример выполнения задания. Дано: схема рамы (рис. 18а); . Требуется: а) построить эпюры ; б) выполнить кинематическую проверку.

Решение. Находим степень статической неопределимости рамы, которая равна числу ее степеней свободы, взятому с обратным знаком:

. Здесь - число блоков, - число простых шарниров, - число элементарных опорных связей. Для данной рамы . Отсюда . В целях уменьшения трудоемкости расчета выбираем симметричную основную систему (ОС) (рис. 18б). Силу можно приложить к любой части ОС. Неизвестные силы и определяются из системы канонических уравнений.

Коэффициенты при неизвестных и свободные члены данных уравнений определяются по формулам (6.1). Для использования данных формул необходимо построить в ОС эпюры соответственно от сил и заданной нагрузки.

Определяем реакции опор, возникающие в ОС от силы :

. Поскольку выбранная ОС является симметричной, то . Горизонтальные реакции опор A и B в данном случае отсутствуют, так как все остальные силы действуют вертикально. Находим изгибающие моменты в ОС от силы .

Участки AE и BF: .

Участки DE и KF: .

Участки EC и CF: .

Строим эпюру (рис. 18в).

Определяем реакции опор, возникающие в ОС от силы :

. В силу симметрии ОС . Определяем изгибающие моменты в ОС от силы .

Участки AE и BF: .

Участки DE и KF: .

Участки EC и CF: .

Строим эпюру (рис. 18г).

Находим реакции опор, возникающие в ОС от заданной нагрузки (рис. 18д):

Определяем изгибающие моменты в ОС от нагрузки.

Участок AE: в середине .

Участок DE: .

Участок EC: .

Участок BF: .

Участок CF: .

Участок KF: .

Строим в ОС эпюру от нагрузки (рис. 18е).

По эпюрам определяем коэффициенты при неизвестных и свободные члены канонических уравнений (в соответствии с заданным отношением моментов инерции поперечных сечений ригелей и стоек берем их жесткости на изгиб ):

.

Из канонических уравнений после подстановки в них данных значений получаем . Для построения эпюр находим реакции опор в ОС при совместном действии сил и заданной нагрузки (рис. 19а):

Определяем значения и на каждом участке.

Участок AE: в середине

;

.

Участок DE: ;

.

Участок EC:

.

Участок BF:

.

Участок KF:

.

Участок CF: ;

.

По полученным значениям строим эпюры (рис. 19б, 19в, 19г).

Правильность выполнения расчета устанавливается в результате кинематической проверки, смысл которой состоит в отсутствии перемещений в ОС в направлениях сил и :

;

.

Для вычисления интегралов использовались формулы (4.2), (4.5).

Задание 7. Расчет неразрезной балки

Для неразрезной балки (рис. 20) с выбранными по шифру из табл. 11 размерами и нагрузкой требуется:

а) построить эпюры и ;

б) выполнить статическую проверку.

Таблица 11

Методические указания. Для расчета неразрезной балки используется метод сил. Наиболее рациональная основная система (ОС) получается путем врезания шарниров над всеми опорами балки кроме крайних. Жесткие заделки заменяются шарнирными неподвижными опорами. Неизвестными обобщенными силами в такой ОС являются опорные моменты , определяемые из канонических уравнений метода сил. Коэффициенты податливости и свободные члены канонических уравнений определяются по формулам (6.1). Для построения окончательной эпюры изгибающих моментов используется принцип независимости действия сил

. (7.1)

Первое слагаемое в (7.1) дает эпюру изгибающих моментов от действия опорных моментов , которую можно построить откладывая, ординаты в точках приложения этих моментов и соединяя их на каждом пролете балки прямыми линиями. Затем к полученной таким образом эпюре добавляется эпюра . Поперечные силы на каждом участке балки определяются по формулам

, (7.2)

где - длина участка; - поперечные силы и изгибающие моменты соответственно на левом и правом концах участка; - интенсивность распределенной нагрузки на рассматриваемом участке. Значения и в (7.2) берутся положительными, если волокна балки на соответствующих концах участка растянуты с нижней стороны (в этом случае ординаты и на эпюре расположены снизу от ее оси). Если на рассматриваемом участке балки , то из (7.2) получаем постоянную для данного участка поперечную силу

. (7.3)

Статическая проверка (проверка равновесия балки) осуществляется двумя уравнениями: . Необходимые для этого реакции опор определяются по формуле

, (7.4)

где - поперечные силы соответственно справа и слева от рассматриваемой опоры.

Пример выполнения задания. Дано: схема балки (рис. 21а);

.

Требуется: а) построить эпюры и ; б) выполнить статическую проверку.

Решение. Балка имеет две лишние связи (ССН=2). Для расчета неразрезной балки методом сил выбираем ОС, заменяя заделку неподвижной шарнирной опорой и врезая шарнир над опорой B (рис. 21б). Неизвестные опорные моменты и определяются из канонических уравнений

Строим в выбранной ОС эпюры и соответственно от моментов и (рис. 21в, 21г). Для построения эпюры рассмотрим участки AB и BCD основной системы как отдельные балки на двух опорах (рис. 21д). На балке AB: . Для балки BCD предварительно определяем реакции опор:

. После этого находим ординаты эпюры в характерных сечениях:

. По полученным значениям строим эпюру (рис. 21е).

Определяем коэффициенты при неизвестных и свободные члены канонических уравнений:

.

Подставляя полученные значения в канонические уравнения, из них находим , и строим эпюру от совместного приложения опорных моментов и (рис. 21ж). Складывая эту эпюру с эпюрой , получаем эпюру изгибающих моментов в заданной неразрезной балке (рис. 21з).

Поперечные силы на каждом участке определяются по формулам (7.2) и (7.3).

Участок AB: ;

.

Участок BK: .

Участок KC: .

Участок CD: ; .

По полученным значениям строим эпюру (рис. 21и). Реакции опор определяются по формуле (7.4):

. Реактивный момент определяется непосредственно по эпюре : . Проверяем равновесие балки (рис. 22):

Задание 8. Расчет статически неопределимой фермы

Для статически неопределимой фермы (рис. 23) с выбранными по шифру из табл. 12 размерами и нагрузкой требуется: а) определить силы во всех стержнях; б) выполнить кинематическую проверку.

Методические указания. При расчете статически неопределимой фермы методом сил следует иметь в виду, что при узловом приложении нагрузки в стержнях фермы возникают лишь продольные силы N. Поэтому в общей формуле Мора учитывается только член, содержащий силы N. Так как продольные силы, площади поперечных сечений и модули упругости по длине стержня не меняются, то интегрирование сводится к суммированию:

. (8.1)

Здесь - силы в стержнях ОС соответственно от силы и нагрузки; - продольные жесткости и длины стержней. Если ОС получается отбрасыванием какого-либо стержня фермы, то в следует учитывать податливость отброшенного стержня, приняв в нем (k - номер отброшенного стержня).

Таблица 12

Так как модули упругости всех стержней одинаковы и площади всех сечений выражаются через площадь , то вместо (8.1) удобнее использовать выражения

. (8.2)

Учитывая симметрию, в расчет можно включать только половину фермы. При этом длины стержней, не имеющих парного стержня во второй половине, следует уменьшить вдвое. После подсчета величин и следует определить значение неизвестного: . Окончательные значения сил в стержнях фермы определяются по формуле . Для осуществления кинематической проверки используется выражение

. (8.3)

Все расчеты свести в таблицу.

Пример выполнения задания

Дано: схема фермы (рис. 24а); . Площади поперечных сечений стержней фермы: нижнего пояса - ; верхнего пояса - ; решетки - ; элементов шпренгеля - . Требуется: а) определить силы во всех стержнях фермы; б) выполнить кинематическую проверку.

Решение. Выбираем симметричную ОС, отбрасывая стержень 11 и заменяя его неизвестной силой (рис. 24б), определяемой из канонического уравнения . Коэффициент податливости и свободный член определяются по формулам

(8.4) Так как модули упругости всех стержней одинаковы и площади поперечных сечений выражены через площадь , то вместо (8.4) удобнее использовать выражения

(8.5)

Учитывая, что выбранная ОС является симметричной, суммы в последних выражениях берем только для одной половины, включая стержни 9 и 11, расположенные на оси симметрии (при расчете длины этих стержней уменьшаем вдвое).

Предварительно найдем значения углов и (рис. 24а), необходимые для дальнейших расчетов:

.

Для определения сил и , возникающих в ОС соответственно от сил и заданной нагрузки, используем метод вырезания узлов (в расчетах индексы 1 и P опущены).

Расчет ОС от сил . Так как силы уравновешены, то реакции опор от этих сил отсутствуют. Вырезаем последовательны узлы ОС (рис. 25) и составляем для них уравнения равновесия.

Узел L:

Узел K: .

Узел E:

Узел A: .

.

Узел C: .

Узел F:

.

В стержне 11 от сил .

Расчет ОС от нагрузки. Определяем реакции опор: . Из равновесия узлов L, E и K следует: .

Составляем уравнения равновесия узлов A, C и F (рис. 26).

Узел A:

.

Узел C:

.

Узел F:

.

Вычисляем суммы в правых частях (8.5) Из канонического уравнения находим неизвестную силу: .

Окончательные значения сил в стержнях фермы определяем по формуле . Расчеты сведены в табл. 13.

Таблица 13

№ ст.	l k	Fk / F	N 1, k	N P, k			Nk
	4, 0	1, 2	-0, 5	0, 0	0, 833	0, 0	-1, 572	2, 619
	3, 0	1, 5	-0, 375	11, 25	0, 281	-8, 442	10, 071	-7, 557
	5, 0	1, 2	0, 625	-18, 75	1, 627	-48, 809	-16, 875	-43, 928
	3, 0	1, 8	1, 5	0, 0	3, 753	0, 0	4, 715	11, 797
	4, 0	1, 2	0, 0	10, 0	0, 0	0, 0	10, 0	0, 0
	3, 0	1, 5	-0, 375	11, 25	0, 281	-8, 442	10, 071	-7, 557
	5, 0	1, 2	-0, 625	6, 25	1, 627	-16, 270	4, 285	-11, 154
	3, 0	1, 8	0, 75	-15, 0	0, 938	-18, 765	-12, 642	-15, 815
	2, 0	1, 2	1, 0	0, 0	1, 667	0, 0	3, 144	5, 238
	6, 325	0, 8	-1, 582	0, 0	19, 787	0, 0	-4, 973	62, 201
	1, 0	0, 8	1, 0	0, 0	1, 25	0, 0	3, 144	3, 930
Σ	-	-	-	-	32, 043	-100, 728	-	-0, 226

Кинематическая проверка:

Задание 9. Расчет статически неопределимой рамы методом перемещений

Для заданной статически неопределимой рамы (рис. 27, 28) с выбранными по шифру из табл. 14 размерами и нагрузкой требуется: а) построить эпюры ; б) выполнить статическую проверку.

Таблица 14

Первая цифра шифра
l, м
Вторая цифра шифра
h, м
P 1, кН
P 2, кН
P 3, кН
Третья цифра шифра (№ схемы)
	1: 2	2: 1	2: 3	3: 2	1: 3	3: 1	3: 4	4: 3	4: 1	1: 4

Методические указания. Расчет статически неопределимой рамы методом перемещений осуществляется с помощью основной системы (ОС), которая получается из заданной путем введения дополнительных связей, исключающих линейные перемещения и углы поворота узлов (последние вводятся только в жесткие узлы). Для построения в ОС эпюр от перемещений и углов поворота , а также эпюры от нагрузки используются справочные данные, приведенные в табл. 15. Коэффициенты при неизвестных и свободные члены канонических уравнений определяются из равновесия узлов или частей ОС, содержащих дополнительные связи.

После определения неизвестных строятся эпюры . Окончательная эпюра изгибающих моментов строится в заданной системе с помощью выражения . Эпюра на каждом участке строится по эпюре . При отсутствии на участке распределенной нагрузки поперечная сила на нем постоянна и определяется по формуле , где - изгибающие моменты соответственно на правом (верхнем) и левом (нижнем) концах участка. Моменты подставляются в формулу с учетом их знаков ( растягивает ригели с нижней, стойки - с правой стороны). Продольные силы в стержнях определяются по известным значениям из условий равновесия узлов. При этом должна поворачивать рассматриваемый узел по часовой стрелке, направляется от узла.

Проверка равновесия рамы осуществляется тремя уравнениями: (сумму моментов можно составлять относительно любой точки). Необходимые для этого реакции опор определяются из условий равновесия обобщенных внутренних и внешних сил в опорных узлах.

Пример выполнения задания. Дано: схема рамы (рис. 29а); . Требуется: а) построить эпюры ; б) выполнить статическую проверку.

Решение. Заданная рама имеет два неизвестных угла поворота жестких узлов и одно неизвестное вертикальное перемещение этих узлов. Основную систему метода перемещений получаем из заданной системы путем введения в нее трех дополнительных связей: двух заделок и одного стержня (рис. 29б). Неизвестные углы поворота и перемещение в направлениях дополнительных связей определяются из канонических уравнений

С помощью справочных данных (табл. 15) строим в ОС единичные и грузовую эпюры (рис. 29в, 29г, 29д, 29е). Коэффициенты при неизвестных и свободные члены канонических уравнений определяются из равновесия узлов ОС, содержащих дополнительные связи (рис. 30) с учетом заданного отношения ():

Подставляя эти значения в канонические уравнения и решая последние, получаем: . Строим в ОС эпюры от перемещений (рис. 31а, 31б, 31в). Окончательная эпюра (рис. 32а) получается с помощью выражения: . Проверяем равновесие моментов в узле С: .

Поперечные силы на каждом участке определяются по эпюре .

Участок AB: .

Участок BC: .

Участок CD: .

Участок CF: .

Участок EF: .

По полученным на участках значениям поперечных сил строим эпюру (рис.32б).

Продольные силы определяем из условия равновесия узлов (рис. 33).

Узел C: .

.

Узел F: .

По полученным значениям строим эпюру (рис. 32в).

Определяем реакции опор, рассматривая равновесие опорных узлов (рис. 34):

.

Проверяем равновесие рамы (рис. 32г):

Литература

1. Дарков А.В., Шапошников Н.Н. Строительная механика. - М.: Высш. шк., 1986.

2. Смирнов В.А., Иванов С.А., Тихонов М.А. Строительная механика. - М.: Стройиздат, 1984.

3. Руководство к практическим занятиям по курсу строительной механики (статически определимые и статически неопределимые системы) / под общ. ред. Г.К. Клейна. - М.: Высш. шк., 1973.