Гармонические колебания и функции комплексного переменного.

Как известно, выражение

(10)

может быть ассоциировано с, так называемой, векторной диаграммой (рис.1). Здесь вектор ОА символически изображает так называемый комплекс тока. Если этот вектор вращается относительно своего начала против часовой стрелки с угловой скоростью w, и модуль этого вектора равен , то длина проекции вектора на ось действительных чисел совпадает с (10).

Теория функций комплексного переменного позволяет записать (10) в виде показательной функции

(11).

Известно, что выражение (11) можно записать также в виде (алгебраическая форма записи) и в виде .

Наконец, то же самое можно записать алгебраически:

(12),

где , .

Все приведённые четыре интерпретации гармонических процессов абсолютно идентичны, но при решении конкретных задач одна из них может значительно упрощать расчёты. Например, при выражении напряжения и комплексного сопротивления в колебательной форме ( и ) значительно проще найти ток ). Нужно только помнить, что физический смысл имеет лишь выражения вида (1), которые всегда можно выделить из любой вышеприведенной формы записи.

Пример 4.

Изобразить на векторной диаграмме положение векторов тока и напряжения на нагрузке Z, если , .

Решение:

Длина вектора равна 10В (в условно выбранном масштабе напряжений), начальная фаза .

Длина вектора равна 5А (в условно выбранном масштабе для токов), начальная фаза .