Упрощенное действие вычитания

Выполнение действия вычитания можно упростить, сведя его с помощью специального приема к сложению. Для этого пользуются понятием дополнения числа.

Дополнение числа определяется как величина, которая будучи прибавлена к данному числу, обращает сумму в нуль с переносом единицы в старший разряд. Например, сумма двух чисел 681₍₁₀₎ и 319₍₁₀₎ равна 1000₍₁₀₎ – с переносом единицы в старший разряд. В этом примере число 681 является дополнением к числу 319 и, наоборот, число 319 является дополнением к числу 618.

Определение дополнения для любого числа (десятичного, восьмеричного, двоичного и т.д.) одинаково. Вначале вычитают каждую цифру числа из наибольшего цифрового значения для данной системы счисления и прибавляют единицу к цифре младшего разряда. Например, для десятичного числа 384₍₁₀₎ нужно вычесть каждую цифру из 9 и прибавить единицу к младшему разряду: 9 – 3 = 6, 9 – 8 = 1, 9 – 4 = 6. Получим дополнение 616₍₁₀₎ (999 – 384 = 616) к числу 384₍₁₀₎.

Для восьмеричного числа 756₍₈₎ нужно вычесть каждую цифру из 7 и прибавить единицу к младшему разряду: 777 – 756 = 021 + 1 = 22. Число 22₍₈₎ является дополнением числа 756₍₈₎.

Для двоичного числа 1 011 011₍₂₎ нужно вычесть каждую цифру из 1 и прибавить единицу к младшему разряду: 1 111 111₍₂₎ – 1 011 011₍₂₎ + 1 = 100 101₍₂₎. Число 100 101₍₂₎ является дополнением числа 1 011 011₍₂₎.

Для получения дополнения числа двоичной системы счисления можно использовать следующий прием: достаточно поменять каждый нуль на единицу, единицу на нуль и к младшему разряду прибавить единицу.

Для шестнадцатеричного числа DA1F9₍₁₆₎ нужно вычесть каждую цифру из 15₍₁₀₎ = F₍₁₆₎ и прибавить единицу к младшему разряду: FFFFF – DA1F9 + 1 = 26E06 + 1. Число 25Е07₍₁₆₎ является дополнением числа DA1F9₍₁₆₎.

Пример 21. Вычесть из трехразрядного числа 741₍₁₀₎ трехразрядное число 326₍₁₀₎.

Решение. 741₍₁₀₎ – 326₍₁₀₎ = 415₍₁₀₎.

Преобразовать число 326 в его дополнение: 999-326 + 1 = 673 + 1 = 674.

Дополнением числа 326 есть 674.

Произвести сложение числа 741 с дополнением 674: 741 + 674 = 0 415 = 1415.

При сравнении действий вычитания и сложения с дополнением получаем одинаковый результат в первых трех разрядах.

В примере рассмотрен случай получения положительного результата при вычитании.

Если результат вычитания двух чисел отрицательный, то нужно взять дополнение от вычитаемого, сложить его с уменьшаемым и затем взять дополнение от полученного результата и изменить знак перед ним. Таким путем получается истинное число от вычитания. Необходимость нахождения второго дополнения определяется отсутствием единицы переноса в действии сложения уменьшаемого с первым дополнением.

Пример 22. Вычесть из трехразрядного числа 326₍₁₀₎ трехразрядное число 741₍₁₀₎.

Решение. 326₍₁₀₎ – 741₍₁₀₎ = -415₍₁₀₎.

Взять дополнение от вычитаемого 741: 999 – 741 + 1 = 259; сложить его с уменьшаемым 326: 259 + 326 = 585; возьмем дополнение от полученного результата: 999 – 585 + 1 = 415; изменить знак перед этим числом: -415.

Рассмотрим случай вычитания чисел с разным количеством разрядов.

Пример 23. Вычесть трехразрядное число 871₍₁₀₎ из четырехразрядного числа 1576₍₁₀₎.

Решение. Представить число 871 в виде 0871. Найти дополнение к числу 0871: 9999 – 0871 + 1 = 9129; выполнить сложение уменьшаемого с дополнением: 1576 + 9129 = 10705. В результате получается перенос единицы в старший разряд. Следовательно, число 705 – истинное.

Типичная ошибка при получении дополнения – это отсутствие выравнивания числа разрядов вычитаемого по числу разрядов уменьшаемого.