Для того щоб функція f(х) була вгнутою на проміжку [а; b], необхідно і достатньо, аби виконувалася умова: для довільних х1 і х2 із [а; b] і будь-якого a, 0 £ a £ 1

. (3)

Означення. 1. Функція f (х) на проміжку [ a; b ] називається опуклою (вгнутою), якщо для будь-яких двох точок х ₁ і х ₂ із [ a; b ] і будь-якого a, 0 £ a £ 1, виконується нерівність

2. Функція f (x) на проміжку [ a, b ] називається строго опуклою (строго вгнутою), якщо для будь-яких точок х ₁ і х ₂ із [ a, b ], х ₁ ¹ х ₂, і будь-якого a, 0 < a < 1, виконується нерівність

Геометрична ілюстрація

Рис. 5.25 Рис. 5.26

Геометрично умова (2) означає, що точки хорди, яка сполучає дві точки графіка опуклої функції f (x), лежать не нижче від графіка функції. Для строго опуклої функції точки такої хорди лежать вище від графіка функції, тобто якщо f (x) — строго опукла функція, то для будь-яких двох точок (х ₁; f (x ₁)) і (х ₂; f (x ₂)), х ₁ < x < x ₂, хорда, що сполучає ці дві точки, має задовольняти умову у > f (x).

У разі строго вгнутої функції f (x), навпаки, для точок (х; у) хорди, яка сполучає точки (х ₁; f (x ₁)), (х ₂; f (x ₂)) графіка у = f (x) має виконуватись умова у < f (x).

На рис. 5.25 і 5.26 подано графіки строго опуклої і строго вгнутої функцій.

Лінійна функція f (x) = аx + b опукла і одночасно вгнута (не строго), оскільки для неї одночасно виконуються умови (1) і (2), в яких нестрогі нерівності перетворюються на рівності.

Показати, що функція f (x) = x ² строго опукла для дійсних х.

● Справді, нехай х ₁ і х ₂ — дійсні числа, х ₁ ¹ х ₂. Тоді

Отже, за умовою (1) функція f (x) = x ² опукла; для x ₁ = x ² і
0 < a < 1 дістанемо строгу нерівність, звідки f (x) = x ² — строго опукла функція.

Без доведення наведено такі ознаки опуклості.