Практическое занятие 3

1. Найти угловой коэффициент k и отрезок b, отсекаемый прямой по оси ординат.

Отв. A) B) C) D) E)

2. Написать уравнение прямой, отсекающей на оси О х отрезок a = 3 и на оси О у отрезок b = -2.

Отв. A) B) C)

D) E)

3. Найти точки пересечения прямой с осями координат.

Отв. A) (-6; 0) и (0; 3) B) (1; 0) и (2; 3) C) (6; 0) и (0; 2)

D) (6; 1) и (-2; 6) E) (1; 2) и (2; 6)

4. Найти угол между прямыми и

Отв. A) B) C) D) 0; E)

5. Найти площадь треугольника, отсекаемого прямой от координатного угла.

Отв. A)12; B)2; C) 6; D)3; E)4.

6. Найти угол между прямыми и

Отв. A) 0; B) C) D) E)

7. Найти уравнение медианы, проведенной из вершины А треугольника АВС, если А(3; 2), B(-1; 4), C(1; 6).

Отв. A) B) C)

D) E)

8. Найти уравнение прямой, проходящей через точку А(3; -1) параллельно прямой

Отв. A) B) C)

D) E)

9. Найти уравнение прямой, проходящей через точку А(-1; 2) перпендикулярно прямой

Отв. A) B) C)

D) Е)

10. Какие из точек А(3; 1), B(1; 5), C(1; 3), D(8; 2) лежат на прямой .

Отв. A) B и C; B) A и B; C)A и D; D) C и D; E) B и D.

11. При каком значении k прямая проходит через начало координат.

Отв. A) 1 и B) 2 и C) -1 и D) 1 и ; E) 1 и 5..

12. При каком значении k прямая параллельна оси ординат.

Отв. A) 3 и B) 2 и C) -3 и D) 1 и E) -3 и 3.

13. Точка А(2; -5) является вершиной квадрата, одна из вершин которого лежит на прямой Вычислить площадь этого квадрата.

Отв. A) 5; B) 6; C) 8; D) 10; E) 3.

14. Точка А (-4; 5) является вершиной квадрата, диагональ которого лежит на прямой . Составить уравнения сторон и второй диагонали этого квадрата.

Отв. Уравнения сторон квадрата: уравнение второй диагонали:

15. Показать, что прямые и , параллельны и найти расстояние между ними.

Отв. 13/2.

16. Найти длину высоты ВD в треугольнике с вершинами A(-; 3), B(2; 5) и C(3; 2).

Отв.

17. Дана прямая Составить уравнение прямой, проходящей через точку А(2; 3) под углом 45° к данной прямой.

Отв. или

Литература: Линейная и векторная алгебра. Аналитическая геометрия. Сборник задач по высшей математике. Академия ГА Алматы 2010. Стр 30-34.

18. Написать уравнение окружности с центром в точке С (3; 4) и радиусом 5.

Отв. A) B) C)

D) E)

19. Написать уравнение окружности, проходящей через начало координат с центром в точке С (-3; 0).

Отв. A) B) C)

D) E)

20. Найти координаты центра и радиус окружности

Отв. A) C(3; -4), R=6; B) C(3; 4), R=6; C) C(-3; 4), R=6;

D) C(-3; 4), R=36; E) C(-6; 8), R=16.

21. Составить уравнение окружности, для которой точки А (3; 2) и В (-1; 6) являются концами одного из диаметров.

Отв.. A) B) C)

D) E)

22. Окружность проходит через точку А (3; 4), а ее центр находится в точке пересечения прямой с ось. Ох.

Отв.. A) B) C)

D) E) .

23. Найти координаты центра и радиус окружности

Отв. A) C(1; -2), R=5; B) C(-1; 2), R=5; C) C(-3; 4), R=6;

D) C(-1; 2), R=16; E) C(-2; 1), R=6.

24. Определить уравнение линии центров двух окружностей:

а) и

б) и

Отв. А)

25. Составить уравнение окружности, если она проходит через точки А (3; 1) и В (-1; 3), а ее центр лежит на прямой

Отв.

26. Составить уравнение эллипса, фокусы которого расположены на оси абсцисс, симметрично относительно начала координат, если:

а) его полуоси равны 5 и 2;

б) его большая ось 2 а =10, а расстояние между фокусами 2 с = 8;

в) его малая ось равна 10, а расстояние между фокусами 2 с = 8;

г) точка принадлежит эллипсу и его малая полуось b = 3;

д) точка принадлежит эллипсу и его большая полуось а = 3;

е) точка принадлежит эллипсу и расстояние между его фокусами 2 с = 8;

ж) точки и принадлежать эллипсу.

Отв.

а) A) ; B) ; C) ; D) ;. E)

.

б) A) ; B) ; C) ; D) ; E) .

в) A) ; B) ; C) ; D) ; E) .

г) A) ; B) ; C) ; D) ; E) .

д) A) ; B) ; C) ; D) ;. E) .

е) A) ; B) ; C) ; D) ; E) .

ж) A) ; B) ; C) ; D) ; E) .

27. Определить полуоси каждого из следующих эллипсов:

а) б) в) г)

Отв. а) A) a = 5, b = 3; B) a = 3, b = 5; C) a = 9, b = 5;

D) a = 1/5, b = 1/3; E) a = 3/5, b = 5/3.

б) a = 1/6, b = 1; B) a = 6, b = 1; C) a = 3, b = 6;

D) a = 9, b = 2; E) a = 1, b = 6;

в) A) a = 5/3, b = 3; B) a = 5, b = 3; C) a = 5/3, b = 1;

D) a = 9/25, b = 1; E) a = 5, b = 5;

г) A) a = 5, b = 1; B) a = 3/5, b = 4; C) a = 5, b = 3;

D) a = 5/3, b = 1/4; E) a = 3, b = 4.

28. Найти точки пересечения прямой и эллипса

Отв. A) (3; 2), (4; 3), B) (2; 3), (4; 3/2), C) (3; 2), (4; 3/2),

D) (3/2; 2), (4/3; 3/2), E) (2/3; 2), (2; 3/2).

29. Найти точки пересечения прямой и эллипса

Отв. A) (3; 2), (4; 3/2), B) (2; 3), (4; 3/2), C) (8/5; 3),

D) (3; 8/5), E) (2/3; 2), (2; 3/2).

30. Вычислить площадь четырехугольника, две вершины которого лежат в фокусах эллипса а две другие совпадают с концами его малой оси.

Отв. кв.ед.

31. Найти полуоси, координаты фокусов и эксцентриситет эллипса, если известно, что эллипс проходит через точки и

Отв.

32. Составить уравнение гиперболы, фокусы которой расположены на оси абсцисс, симметрично относительно начала координат, если известно, что:

а) ее оси 2 а = 10 и 2 b = 8;

б) расстояние между фокусами 2 с =10 и ось 2 b =8;

в) расстояние между фокусами 2 с =6 и эксцентриситет e = 3/2;

г) расстояние между фокусами 2 с =10 и уравнения асимптот ;

д) ось 2а = 16 и эксцентриситет e =5/4.

Отв. а) A) ; B) ; C) ;

D) ; E) ;

б) A) ; B) ; C) ;

D) ; E) ;

в) A)) ; B) ; C) ;

D) ; E) ;

г) A) ; B) ; C) ;

D) ; E) ;

д) A) ; B) ; C) ;

D) ; E) .

33.Определить полуоси а и b каждой из следующих гипербол:

а) б) в) г) д)

Отв. а) A) a = 4; b = 2; B) a = 2; b = 4; C) a = 2; b = 3;

D) a = 1/16; b = 1/2; E) a = 2; b = 3;

б) A) a = 6; b = 3; B) a = 2; b = 3; C) a = 1/2; b = 1/3;

D) a = 4; b = 9; E) a = 1/4; b = 1/3;

в) A) a = 2; b = 3; B) a = 1/2; b = 1/2; C) a = 2; b = 2;

D) a = 4; b = 2; E) a = 4; b = 4;

г) A) a = 3; b = 2; B) a = 1/9; b = 1/4; C) a = 1/2; b = 1/3;

D) a = 1/3; b = 1/2; E) a = 2; b = 3;

д) A) a = 1/4; b = 2; B) a = 1/16; b = 1/2; C) a = 2; b = 3;

D) a = 4; b = 2; E) a = 16; b = 2.

34. Гипербола проходит через точку и имеет мнимую полуось

b = 2. Написать ее уравнение и найти фокальные радиусы точки М

Отв.

35. На гиперболе взята точка М с ординатой, равной 1. Найти расстояние ее от фокусов.

Отв.

36. Написать уравнение гиперболы, имеющей вершины в фокусах, а фокусы - в вершинах эллипса

Отв.

37. Дана гипербола Найти:

а) полуоси а и b; б) фокусы; в) эксцентриситет; г) уравнения асимптот.

Отв. а) а = 3, b = 4; б) в) г)

38. Найти точки пересечения прямой и гиперболы

Отв. (6; 2) и

39. Найти точки пересечения прямой и гиперболы

Отв. (6; 2) и - прямая касается гиперболы.

40. Установить, что каждое из следующих уравнений определяет гиперболу, и найти координаты ее центра С. полуоси, эксцентриситет и уравнения асимптот:

1)

2)

3)

Отв.

1) С(2; -3), а = 3, b = 4, e=53, уравнения асимптот: 2) С(-5; 1), а = 8, b = 6, e=54, уравнения асимптот:

3) С(2; -1), а = 3, b = 4, e=54, уравнения асимптот:

41. Составить уравнение параболы, вершина которой находится в начале координат, зная, что:

а) парабола расположена симметрично относительно оси О х и проходит через точку А (9; 6);

б) парабола расположена симметрично относительно оси Ох и проходит через точку В (-1; 3);

в) парабола расположена симметрично относительно оси Оу и проходит через точку С (1; 1)

г) парабола расположена симметрично относительно оси Оу и проходит

через точку D (4; -8).

Отв. а) A) ; B) ; C) ; D) ; E) .

б) A) ; B) ; C) ; D) ; E) .

в) A) ; B) ; C) ; D) ; E) .

г) A) ; B) ; C) ; D) ; E) .

42. Написать уравнение окружности, имеющей центр в фокусе параболы и касающейся ее директрисы. Найти точки пересечения параболы и окружности. Отв.

43. Написать уравнение параболы и уравнение директрисы, если известно, что парабола симметрична относительно оси Ох и что точка пересечения прямых у = х и х + у = 2 лежит на параболе.

Отв. .

44. Найти фокус F и уравнение директрисы параболы

Отв. A) F (12; 0), x + 12 = 0; B) F (3; 0), x + 3 = 0; C) F (4; 0), x + 4 = 0;

D) F (6; 0), x + 6 = 0; E) F (-6; 0), x - 6 = 0.

45. Вычислить фокальный радиус точки М параболы если абсцисса точки М равна 7.

Отв. A) 24. B) 17. C) 27. D) 20. E) 12.

46. Вычислить фокальный радиус точки М параболы если ордината точки М равна 6.

Отв. A) 6. B) 12. C) 4. D) 10. E) 12.

47. Установить, что каждое из следующих уравнений определяет параболу, и найти координаты ее вершины А и величину параметра р.

а)

Отв. а) A) A(-2; 1), p = 2, B) A(2; 1), p = -2, C) A(2; 3), p = 2,

D) A(-1; 2), p = 1, E) A(2; 1), p = 2.

б) A) A(3; 1), p = 1/2, B) A(1; 3), p = 1/8, C) A(1; 2), p = 2/3,

D) A(1; 3), p = 1/4, E) A(-1; 1), p = ½.

в) A) A(6; 1), p = 3, B) A(-2; -1), p = 3, C) A(6; -1), p = 3,

D) A(12; -1), p = 2, E) A(-2; 1), p = 3.

Литература: Линейная и векторная алгебра. Аналитическая геометрия. Сборник задач по высшей математике. Академия ГА Алматы 2010. Стр 36-45.

Контрольное домашнее задание по теме «Аналитическая геометрия на плоскости»

Литература: Линейная и векторная алгебра. Аналитическая геометрия. Сборник задач по высшей математике. Академия ГА Алматы 2010. Стр 46-49.

Номер варианта совпадает с последней цифрой номера студенческого билета