Практическое занятие 2

1. Даны точки А(2; 3; -1) и В(1; -2; -1). Найти координаты вектора

Отв. A) (-1; -5; 0); B(3; 1; -2); C(2; -6; 1); D(1; 5; 0); E(-2; 6; -1).

2. Даны векторы и Найти вектор +

Отв. A) (6; -2; -1); B(3; 7; 5); C(2; -6; 1); D(3; 7; -5); E(-3; -7; -5).

3. Найти координаты вектора если А(1; 3; -4) и В(3; 2; 1).

Отв. А) = ; В) = ; С) = D) = (-2; -1; 5);

E) = .

4. Найти единичный вектор вектора

Отв. А) В) С) D) E)

5. Найти скалярное произведение векторов и .

Отв. А) ; В) С) D) E)

6. Указать условие перпендикулярности векторов и .

Отв. А) ; В) C)

D) ; E) .

7. Указать формулу для нахождения векторного произведения двух векторов и .

Отв. А) ; В)

C) ; D) ; E) .

8. Найти модуль суммы векторов и

Отв. А) 3; В) 6; С) 11;.D) 9; E) 12.

9. Найти координаты вектора , если и Направление вектора противоположно направлению вектора

Отв. А) B) C) D) E)

10. Указать условие коллинеарности векторов и .

Отв. А) ; B)

C) ; D) . E)

11. Найти скалярное произведение векторов и .

Отв.А) . В) . С) . D) . E)

12. При каком значении k векторы и коллинеарны.

Отв. A) 25. B) –25. C) –5. D) 5. E) 2.

13. Дан модуль вектора Углы, составленные вектором с осями

координат, равны a=45⁰, b=60⁰, g=120⁰. Вычислить проекции вектора на координатные оси.

Отв. А) . B) . С) . D) . E) .

14. Вычислить направляющие косинусы вектора .

Отв. A) . B) .

C) . D) .

E) .

15. Найти скалярное произведение векторов и , если их модули равны 5

и 8 соответственно и угол между ними равен 60⁰.

Отв. A) –20. B) 40. C) 10. D) –10. E) 20.

16.Даны векторы и Вычислить

Отв. A) 41. B) 44. C) 34. D) –1. E) 3.

17. Даны векторы и Найти координаты векторного произведения ,

Отв. A) . B) . C) .

D) . E) .

18. Даны векторы и Найти координаты векторного произведения ,

Отв. A) . B) . C) D) .. E) .

19.Вычислить площадь параллелограмма, построенного на векторах и

Отв. A) . B) 5. C) 4. D) . E) .

20. Найти косинус угла между векторами и .

Отв. A) . B) . C) . D) . E) .

21. Найти косинус угла между векторами и .

Отв. A) . B) . C) . D) . E) .

22. При каком значении m векторы и будут перпендикулярны.

Отв. A)1 B) –6; C) –4; D) 4; E) 3.

23. При каком значении m векторы и будут перпендикулярны.

Отв. A)-1 B) 5; C) 4; D) -4; E) 3.

24. Найти смешанное произведение векторов , и .

Отв. A)1 B) –6; C) –4; D) 4; E) 3.

25. Найти объем параллелепипеда, построенного на векторах и .

Отв. A) 41. B) 61. C) 45. D) -51. E) 51.

26. Найти объем треугольной пирамиды с вершинами в точках О (0; 0; 0), А)(5; 2; 0), В) (2; 5; 0) и С(1; 2; 4).

Отв. A) 14. B) 10. C) 12. D) 7. E) 6.

Задача 27. Даны точки и . Требуется найти:

а) координаты векторов и

б) модуль вектора (или расстояние между точками А и В);

в) координаты середины отрезка АВ

	А, В.	Отв. а)	Отв. б)	Отв.в)
	А(5; 2; 6), В(1; 8; -2)			(3; 5; 2)
	А(-3; 1; 0), В(7; 1; -5)			(2; 1; 2, 5)
	А(2; -1; 7), В(6; 3; 4)			(4; 1; 5, 5)
	А(2; 3; 4), В(-2; -1; 8)			(0; 1; 6)
	А(5; -4; 3), В(1; 3; -8)			(3; -0, 5; -2, 5)
	А(0; 4; 5), В(7; -2; 1)			(3, 5; 1; 3)
	А(2; -3; -7), В(3; 2; 8)			(5, 5; -0, 5; 15, 5)
	А(2; 1; -6), В(1; 4; 9)			(3, 5; 5, 5; 3, 5)
	А(5; 6; -3), В(7; 6; 1)			(6; 6; -1)
	А(2; 8; -9), В(7; 5; -5)			(9, 5; 13, 5; -7)

Задача 28. Даны векторы и Требуется найти:

а) модуль вектора ;

б) направляющие косинусы вектора

Задача 29. Найти скалярное произведение векторов и если даны модули векторов и и угол j между ними.

		Отв.
		-76
		-43
		-102
		-23
		-132

		-4

Задача30. Даны координаты вершин треугольника АВС. Вычислить площадь этого треугольника.

		Отв.
	А(1; 1; 1), B(2; 3; 4), C(4; 3; -2)	(кв.ед)
	А(2; 2; 2), B(4; 0; 3), C(0; 1; 0)	(кв.ед)
	А(0; 0; 1), B(2; 3; 5), C(0; 2; 3)	(кв.ед)
	А(1; 2; 0), B(3; 0; -3), C(5; 2; 6)	(кв.ед)
	А(1; -1; 2), B(5; -6; 2), C(1; 3; -1)	(кв.ед)
	А(5; -4; 3), B(1; -2; 5), C(0; 1; 2)	(кв.ед)
	А(1; -1; 3), B(4; -5; 4), C(1; 1; 4)	(кв.ед)
	А(2; 5; 1), B(0; 3; -1), C(2; 5; 4)	(кв.ед)
	А(0; 2; -1), B(5; 2; 3), C(1; 3; 2)	(кв.ед)
	А(1; 3; 1), B(0; 3; -2), C(-1; 2; 5)	(кв.ед)

Задача 31. Вычислить объем V параллелепипеда, построенного на векторах

		Отв.V(куб.ед)
		V=33 (куб.ед.)
		V=7 (куб.ед.)
		V=7 (куб ед.)
		V=18 (куб.ед.)
		V=51 (куб.ед.)
		V=36 (куб.ед.)
		V=93 (куб.ед.)
		V=87 (куб.ед.)
		V=91 (куб.ед.)
		V=54 (куб.ед.)

Задача 32. Даны координаты вершин треугольной пирамиды А₁{x₁; y₁; z₁}, A₂{x₂; y₂; z₂}, A₃{x₃; y₃; z₃}, A₄{x₄; y₄; z₄}. Методами векторной алгебры найти:

а) длину ребра А₁А₂;

б) угол между ребрами А₂А₃ и А₃А₄;

в) проекцию ребра А₁А₃ на ребро А₁А₂;

г) площадь грани А₁А₂А₃;

д) объем пирамиды А₁А₂А₃А_4.

01. А₁(1; -2; 0), А₂(2; 1; -2), А₃(-1; -1; 3), А₄(2; 3; 1).

02. А₁(2; -1; 1). А₂ (3; 2; -1). А₃ (0; 0; 4), А₄ (3; 4; 2).

03 А₁(3; 0; 2). А₂ (4; 3; 0). А₃ (1; 1; 5), А₄ (4; 5; 3).

04. А₁(1; -1; 0). А₂ (2; 2; -2). А₃ (-1; 0; 3), А₄ (2; 4; 1).

05. А₁(2; -2; 0). А₂ (3; 1; -2). А₃ (0; -1; 3), А₄ (3; 3; 1).

06. А₁(1; -2; 1). А₂ (2; 1; -1). А₃ (-1; -1; 3), А₄ (2; 3; 2).

07. А₁(1; -2; 1). А₂ (2; 1; -1). А₃ (-1; -1; 4), А₄ (2; 3; 2).

08. А₁(0; -3; -1). А₂ (1; 0; -3). А₃ (-2; -2; 2), А₄ (1; 2; 0).

09. А₁(-1; -4; -2). А₂ (0; -1; -4). А₃ (-3; -3; 1), А₄ (0; 2; -1).

10. А₁(4; 0; 1). А₂ (-1; -1; -1). А₃ (-2; 1; 0), А₄ (3; 1; -2).

11. А₁(-2; -1; -3). А₂ (3; 2; 1). А₃ (1; -2; 2), А₄ (2; 3; 4).

12. А₁(-3; 2; -1). А₂ (4; -1; 2). А₃ (2; 1; 0), А₄ (-1; 5; -2).

Литература: Линейная и векторная алгебра. Аналитическая геометрия. Сборник задач по высшей математике. Академия ГА Алматы 2010. Стр 26-29.