Практическое занятие 4

1. Даны точки A (4; 3; 5), B (-3; 2; 1), C (2; -3; 0). Найти координаты их проекций: а) на плоскость Оху; б) на плоскость Охz.

Отв.

а)A) , B) ,

C) , D) ,

E) ,

б) A) , B) ,

C) , D) ,

E) ,

2. Вычислить расстояния от начала координат до точек А (4; -2; -4) и

В (-4; 12; 6).

Отв. A) ОА = 5, B) ОА = 7, C) ОА = 6, 5, D) ОА = 6, E) ОА = 8,

A) OB =15. B) OB =13. C) OB =10. D) OB =12. E) OB =14.

3. Даны вершины треугольника Найти середины его сторон.

Отв. A) (2; 0; -1), (-1; 0; 2), (0; 0-2), B) (-2; -1; -1), (1; -2; 2), (0; 1; -2),

C) (2; 1; -1), (-1; 2; 2), (0; -1; -2), D) (2; -1; 1), (-1; 2; 2), (0; 1; 2),

D) (2; -1; -1), (-1; -2; 2), (0; 1; -2).

4. Даны две вершины А (2; -3; -5), В (-1; 3; 2) параллелограмма АВСD и точка пересечения его диагоналей ( Е4; -1; 7). Определить две другие вершины этого параллелограмма.

Отв. С (5; 1; 19) и D (9; -1; 12).

5. Доказать, что треугольник с вершинами А (3; -1; 2), В (0; -4; 2) и С (-3; 2; 1) равнобедренный.

6. На оси абсцисс найти точку, расстояние которой от точки А (-3; 4; 8) равно 12.

Отв. A) (5; 0; 0) и (11; 0; 0), B) (-5; 0; 0) и (-11; 0; 0), C) (5; 0; 0) и (-11; 0; 0)

D) (4; 0; 0) и (-10; 0; 0), E) (4; 0; 0) и (-8; 0; 0).

7. На оси ординат найти точку, равноудаленную от точек А (1; -3; 7) и В (5; 7; -5).

Отв. A) (0; 3; 0) B) (0; 4; 0) C) (0; -2; 0) D) (0; 2; 0) E) (0; -3; 0

8. Составить уравнение плоскости, которая проходит через точку и имеет нормальный вектор

Отв. A) x -2 y -3 z +3=0. B) x -2 y +3 z -3=0. C) – x +2 y +3 z +3=0.

D) x +2 y -3 z -3=0. E) x -2 y +3 z +3=0.

9. Составить уравнение плоскости, которая проходит через начало координат и имеет нормальный вектор

Отв. A) 5 x -3 z =0. B) 5 x - y -3 z =0. C) –5 x +3 z =0.

D) 5 y -3 z =0. E) 5 x -3 y =0.

10. Точка Р (2; -1; -1) служит основанием перпендикуляра, опущенного из начала координат на плоскость. Составить уравнение этой плоскости.

Отв. A) 2 x - y - z +6=0. B)2 x - y - z -6=0. C) 2 x + y + z -6=0.

D) -2 x - y - z +6=0. E) 2 x + y - z +6=0.

11. Написать уравнение плоскости, проходящей через точку Р (2; 2; -2) параллельно плоскости x -2 y -3 z +2=0.

Отв. A) x -2 y -3 z -2=0. B) – x +2 y -3 z +2=0. C) x -2 y -3 z -4=0.

D)2 x -2 y -2 z +2. E) x -2 y +3 z -4=0.

12. Найти угол между плоскостями 2 x -2 y + z- 13=0 и x + z -6=0.

Отв. A)0. B) C) D) E)

13. Составить уравнение плоскости, которая проходит через точку параллельно двум векторам и

Отв. A) x -2 y -3 z +3=0. B) x -4 y +7 z -16=0. C) – x +4 y +7 z +13=0.

D) x +2 y -3 z +16=0. E) x +4 y +7 z +16=0.

14. Найти отрезки, отсекаемые плоскостью 3 x -4y-6 z +12=0 на координатных осях.

Отв. A) a =-4, b =3, c =2. B) a =4, b =3, c =2. C) a =3, b =4, c =6.

D) a =3, b =-4, c =-6. E) a =1/4, b =1/3, c =1/2.

15. Написать уравнение плоскости, проходящей через точку А (2; -1; 1), перпендикулярно плоскостям 1) 2 x - z +1=0 и y =0. 2) 2x-y+3z-1=0 и x+2y+z=0.

Отв. 1) х +2 z- 4=0. 2) –7x+y+5z+10=0.

16. Написать уравнение плоскости, проходящей через три точки А (1; -1; 2), В (2; 1; 2) и С (1; 1; 4).

Отв. 2 х - у + z- 5=0.

17. Вычислить расстояние D от точки до плоскости в каждом из следующих случаев:

а) M (-2; -4; 3), 2 x - y +2 z +3=0;

б) N (2; -1; -1), 16 x -12 y +16 z -4=0;

в) P (3; -6; 7), 4 x -3 z -1=0.

Отв. а) A) 2, B) 1, C) 4, D) 3, E) 5.

б) A) 3, B) 2, C) 5, D) 4, E) 1,

в) A) 2. B) 3, C) 4, D) 1, E) 5.

18. Вычислить расстояние между параллельными плоскостями:

а) 4 x -2 y +4 z -21=0, 2 x - y +2 z +9=0.

б) 16 x +12 y -15 z +50=0, 16 x +12 y -15 z +25=0

Отв. а) A) 5, 5..B) 12. C) 30. D)7. E) 6, 5.

19. Найти угол между плоскостями x -2 y +2 z -8-0 и x + z- 6=0.

Отв. A) . B) C) D)0. E)

20. Составить уравнения плоскостей, параллельных плоскости 2 x -2 y + z -3=0 и отстоящих от нее на расстоянии d =5.

Отв. 2x-2 y + z +12=0, 2x-2 y + z -18=0.

21. Составить уравнение плоскости, перпендикулярной к плоскости

2 x -2 y + z -3=0 и отсекающей на координатных осях О х и О у отрезки

Отв. x -3 y -2 z +2=0.

22. Даны точки А (3; -1; 2) и В (4; -2; -1). Составить уравнение плоскости, проходящей через точку А перпендикулярно вектору

Отв.

23. Составить канонические уравнения прямой, проходящей через точку параллельно:

а) вектору

б) прямой в) оси Ох; г) оси Оу; д) оси Оz.

Отв.а) A) B) C) ,

D) E) ,

б) A) B) C) ,

D) E) .

в) A) B) C)

D)) E))

г) A) B) C)

D) E)

д) A) B) C)

D) E)

24. Составить канонические уравнения следующих прямых:

1) 2)

Отв. 1)

25. Составить канонические уравнения прямой, проходящей через две данные точки: 1) (1; -2; 1), (3; 1; -1); 2) (3; -1; 0), (1; 0; -3); 3) (3; -2; 1), (0; -2; 3)..

Отв. 1) 2) 3)

26. Написать канонические уравнения перпендикуляра, опущенного из точки А (2; -3; 4) на ось Оz.

Отв. A) B) C)

D) E)

27. Найти острый угол между прямыми

Отв. A) 30º; B) 45º; C) 90º; D) 60º; E) 75º.

28. Найти тупой угол между прямыми ,

Отв. A) 130º; B) 100º; C) 150º; D) 120º; E) 135º.

29. Найти угол между прямыми и плоскостями:

1) и 2) и

Отв. 1)

30. Найти точку пересечения прямой и плоскости:

а) ,

б)

в)

Отв. а) (2; -3; 6), б) (6; 4; 5), в) (5; 5; -2).

31. Составить уравнение плоскости, проходящей через прямую и точку (3; 4; 0).

Отв.