Главная страница Случайная страница Разделы сайта АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника |
Несобственные интегралы от неограниченных функций
Пусть функция y=f(x) непрерывна " х, и , то для любого функция интегрируема на сегменте . Если существует конечный предел , то этот предел называют несобственным интегралом от неограниченной функции f(x) и обозначают символом . В этом случае говорят, что несобственный интеграл существует или сходится. Если указанный предел не существует, то говорят, что несобственный интеграл не существуе т или расходится. По определению имеем = . Аналогично определяется несобственный интеграл в случае . Если f(x) не ограничена при приближении х справа к точке а, то = . Если же функция f(x) не ограничена в некоторой внутренней точке с сегмента [ a, b ] и функция f(x) не ограничена в любой окрестности точки с, то = + . Таким образом, из определений непосредственно видно, что несобственный интеграл от неограниченной функции является не пределом интегральных сумм, а пределом определенного интеграла. Пример. Исследовать на сходимость интеграл Решение. Подынтегральная функция не ограничена в точке х = 1. Поэтому рассмотрим отдельно интегралы и Оба интеграла расходятся, так как . Следовательно, несобственный интеграл расходится.
Практическое занятие 12 1 Вычисление площадей плоских фигур Вычисление площади плоской фигуры в декартовой системе координат. Если на сегменте [a, b] непрерывная функция f(x) ³, то площадь криволинейной трапеции, ограниченной кривой y = f(x), осью Oх и прямыми х = а и x = b, равна определенному интегралу . В общем случае, если фигура, представляет собой часть плоскости, ограниченной непрерывными кривыми , , () и двумя отрезками прямых x = a, x = b (отрезки прямых могут вырождаться в точку), то площадь такой фигуры можно представить в виде суммы и (или) разности площадей криволинейных трапеций. у
S
О a b x Для вычисления площади такой фигуры будем иметь формулу Пример. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями: Решение. Сделаем схематический чертеж. Построим данные линии. у 1 х Пусть кривая, ограничивающая криволинейную трапецию сверху, задана параметрическими уравнениями причем . Тогда площадь фигуры D может быть вычислена по формуле Вычисление площади в полярной системе координат. Пусть плоская фигура D расположена в полярной системе координат и представляет собой криволинейный сектор, ограниченный непрерывной кривой и отрезками лучей j = a и j = b. Отрезки лучей могут вырождаться в точку. Тогда площадь фигуры вычисляется по формуле
Пример. Найти площадь фигуры, ограниченной кардиоидой Решение. Область определения функции будет
|