Следствие из утверждений 11.11

и 11.12: Для того, чтобы прямую ли-нию из общего положения перевести в проецирующее, её необходимо прежде

вращением вокруг оси, перпендикуляр-

ной к одной плоскости проекций, пе-

ревести в положение линии уровня, а

затем, приняв это положение за исхо-

дное, вращением вокруг другой оси, перпендикулярной к другой плоскости проекций, перевести в искомое прое-цирующее положение.

11.2.2. Способ последовательного вращения вокруг двух проецирую-щих осей и решение метрических задач

1. Последовательное вращение отрезка АВ прямой общего положения вокруг двух взаимно-перпендикулярных осей и его графическая модель

Возможные варианты положения осей вращения і¹ и і² (рис.11.9, а - и):

Вариант а:

(і¹ ^ П₁)Î П₂; (і² ^ П₂) Î П₁; і¹ х і² = (А Î х₁₂);

Вариант б:

(і¹ ^ П₁)Î П₂; (і² ^ П₂) || П₁;

Вариант в:

(і¹ ^ П₁) || П₂; (і² ^ П₂)Î П₁; і¹ х і² =(В Î П₁);

Вариант г:

(і¹ ^ П₁) || П₂; (і² ^ П₂)Î П₁; і¹ х і² = С;

Вариант д:

(і¹ ^ П₁) || П₂; (і² ^ П₂)Î П₁; і¹ ∸ і²;

Вариант е:

(і² ^ П₂) || П₁; (і¹ ^ П₁)Î П₂; і¹ ∸ і² ;

Вариант ж:

(і¹ ^ П₂) || П₁; (і² ^ П₁)Î П₂; і¹ ∸ і² ;

Вариант з:

(і¹ ^ П₁) || П₂; (і² ^ П₂) || П₁; і¹ ∸ і² ;

Вариант и:

(і² ^ П₂) || П₁; (і¹ ^ П₁) || П₂; і¹ ∸ і².

На выбор варианта расположения осей і¹ и і² влияют позиционные особен-ности исходного условия конкретной метрической задачи, что затем сказыва-ется на рациональности её графичес-кого решения.

Дано: а (а₁, а₂); і¹ ^ П₁; і² ^ П₂;

Требуется: 1. а ↷ а¹ || П₂;

2. а¹ ↷ а² ^ П₁.

Решение (рис.11.10):

1. (О₁ º і₁) Î О₁С₁ ^ а₁; С₁ = О₁С₁ х а₁;

2. О₁С₁ ↷ О₁ С¹₁ ^ х₁₂; а₁ ↷ а¹₁ || х₁₂;

а₂ ® а¹₂ = | a |; Ð j ° = | j °| а к П₁.

3. ( О¹₂ º і²₂ ) Î О¹₂ 1¹₂ ^ a¹₂;

1¹₂ = O¹₂1¹₂ х a¹₂;

Рис. 11.11. Преобразование проекций

отрезка общего положения в его проекции в проецирующем

положении

Рис.11.12. Преобразование проекций плоскости общего положения в её проекции проецирующего положения.

4. О¹₂1¹₂ ↷ О²₂1²₂ || х₁₂; а¹₂ ↷ а²₂ ^ х_{12 ;}

a¹₁ ® a²₁ - точка.

Если оси вращения проводить че-рез один из концов отрезка, то гра-фическое решение задачи упрощается

(рис. 11.6, 11.7).

ПРАВИЛО 4: Для того, чтобы пре-образовать ортогональные проекции прямой общего положения в проекции этой же прямой в том или ином про-ецирующем положении, необходимо и достаточно прежде преобразовать их в проекции линий уровня вращением вокруг первой оси, повернув радиус вращения отрезка до того или иного проецирующего положения, а затем, определив новый радиус вращения пря-мой в положении линии уровня, повер-нуть его вокруг второй оси до поло-жения, совпадающего с плоскостью уровня, проходящего через вторую ось вращения.

2. Вращение плоской фигуры вокруг одной оси (рис.11.12, а, б)

Классическим примером плоской фигуры является треугольник. В общем случае его стороны, как отрезки пере-секающихся прямых, занимают в прост-ранстве общее положение. Поэтому вращением вокруг одной проецирую-щей оси их невозможно привести в то или иное частное положение. Если же предположить, что одна сторона треу-гольника общего положения является его линией уровня, то, как следует из утверждения 11.12, её можно одним по-воротом вокруг проецирующей оси пе-ревести в положение, перпендикуляр-ное к тойплоскости проекций, по отно-шению к которой ось вращения парал-лельна. Тогда плоскость a треугольни-ка АВС, содержащая в себе перпенди-куляр к той или иной плоскости про-екций, также займёт то или иное прое-цирующее положение. При этом та или иная линия уровня этой плоскости при-обретает значение главного элементапреобразования её ортогональных про-екций.

Утверждение 11.12. Плоскую фигу-ра общего положения вращением во-круг той или иной проецирующей о си можно повернуть до того или иногопроецирующего положения если при-нять за основной элемент соответ-ствующего преобразования его орто-гональных проекций ту или иную её

линию уровня, которую одним поворо-том можно перевести в проецирую-щее положение.

Из этого утверждения вытекают два правила:

ПРАВИЛО 5: Для того, чтобы ор-тогональные проекции a₁, a₂ плоскос-ти a общего положения преобразо-вать в проекции этой же плоскости, но перпендикулярной к П₂, необходимо и достаточно провести в ней горизон-таль h (h₁, h₂), выбрать ось і ^ П₁ и по-вернуть вокруг неё a₁ в конгруєнтную ей фигуру a¹₁ таким образом, чтобы h₁ заняла положение h¹₁ ^ x_12. Тогда h₂ пре-образуется в точку h¹₂, а a₂ – в прямую a¹₂, угол j° наклона которой к оси х₁₂ метрически равен углу наклона пло-скости a к плоскости П₁ (рис. 11.12, а).

ПРАВИЛО 6: Для того, чтобы ор-тогональные проекции b₁, b₂ плоскос-ти b общего положения преобразо-вать в проекции b¹₁, b¹₂ этой же плос-кости, но находящейся в горизонталь-но-проецирующем положении, необхо-димо и достаточно провести в ней фронталь f (f₁, f₂), выбрать ось враще-ния і ^ П₂ и повернуть вокруг неё b₂ в конгруэнтную ей фигуру b¹₂ таким об-разом, чтобы f₂ заняла положение f¹₂ ^ x₁₂. Тогда f ₁ преобразуется в точку f ₁, а b₁- в прямую b¹₁, угол j ° наклона ко-торой к оси х₁₂ метрически равен углу наклона плоскости b к плоскости П₂ (рис. 11.12, б).

3. Последовательное вращение плоской фигуры вокруг двух проециру-ющих осей и его графическая модель.

Дано 1. і¹ ^ П₁; і² ^ П₂; a (a₁, a₂);

(рис.11.13, а);

2. і¹ ^ П₂; і² ^ П₁; b (b₁, b₂);

(рис.11.13, б).

Требуется:

1.1. a ↷ a¹ ^ П₂; (і¹ ^ П₁);

1.2. a¹ ↷ a² ‖ П₁; (і² ^ П₂);

2.1. b ↷ b¹ ^ П₁; (і¹ ^ П₂);

Рис. 11.13. Графическая модель

последовательного вращения плоской

фигуры вокруг двух проецирующих

осей

Рис11.14. Геометрическая модель процесса вращения точки, прямой и лоской фигуры вокруг линии уровня

2.2. b¹ ↷ b² ‖ П₂; (і² ^ П₁).

Решение: (рис. 11.13, а):

1. h Î a; h₂ ^ A₂ A₁; h₁ É A₁, 1₁;

2. i¹ ^ П₁; (і¹₁ – точка; і¹₂ ^ х₁₂);

3. h₁ ↷ h¹₁ ‖ A₁ A₂; a₁ ↷ a¹₁ @ a_1;

4. h₂ ® h¹₂ – в точку;

a₂ ® a¹₂ - в прямую;

Ð a²₁, x₁₂ = | j° | Ð a, П₁;

5. і² ^ П₂; (і²₂ – точка; і²₁ ^ х₁₂);

6. a¹₂ ↷ a²₂ ^ А₁ А₂;

7. a¹₁ ® a²₁ @ | a | - истинный вид фигуры a, который содержит информа-цию о метрике её сторон, углов между ними, высот, площади и т.д.

Решение: (рис.11.13. б):

1. f Î b; f₁ ^ A₁ A₂; f₂ É A₂, 1₂;

2. A Î i ^ П₂ (і₂ – точка, і¹₁ ^ х₁₂);

3. f₂ ↷ f¹₂ ‖ A₁ A₂; f₁ ® f¹₁ – точку;

b₁ ® b¹₁ - прямую;

4. і²^ П₁ (і²₁ – точка; і²₂ ^ х₁₂;

5. b¹₁ ↷ b²₁ ^ А₁ А₂;

6. b¹₂ ® b²₂ = | b | - искомый вид фигуры b, который содержит всю иско-мую информацию о его метрике.

ПРАВИЛО 7: Для того, чтобы пре-образовать ортогональные проекции плоской фигуры общего положения в проекции этой же фигуры, находящей-ся в том или ином положении уровня, необходимо и достаточно прежде изо-

бразить ту или иную её линию уровня, принять её за основной элемент пре-образования и, вращением вокруг пер-вой проецирующей оси, повернуть до проецирующего положения. В резуль-тате одна из проекций плоской фигу-ры выродится в наклонную прямую ли-нию, угол между которой и осью х₁₂ ра-вен значению угла наклона её плоскос-ти к той или иной плоскости проек-ций. После этого следует выбрать вторую ось, параллельную новому по-ложению плоской фигуры и повернуть её вырожденную проекцию из наклон-ного положения в горизонтальное, что вызовет преобразование невыро-жденной проекции фигуры в первом по-ложении в новую проекцию, конгруэн-тную самой фигуре. Эта проекция является искомой, так как содержит

всю информацию о метрике этой фи-

гуры.