Абсолютная и относительная погрешности

Пусть А -точное значение некоторой величины, - известное приближение к нему, т.е. приближенное значение величины А. Обозначим или .

В зависимости от типа величины принято называть А точным числом, а его приближение - приближенным числом. Например, в соотношениях

число - является точным; числа 3, 14; 3, 142 – приближенные.

Разность или () между точным и приближенным значениями величины называется погрешностью значения (но не А). Так как степень точности приближений удобно характеризовать с помощью неотрицательных чисел, вводится понятие абсолютной погрешности:

. (1)

Знак () свидетельствует о том, что погрешность между А и не больше (но может быть и меньше). Действительно, совершенно неважно или . Главное - насколько они отличаются.

Абсолютная погрешность дает ценную информацию о неизвестном (часто) точном значении А: оно находится от известного приближения () на расстоянии, не большем, чем . Запись (1) можно представить иначе

.

Следовательно, найдя приближенное значение и его абсолютную погрешность , узнаем, что точное значение А располагается на отрезке , но где точно - ответить на этот вопрос нельзя. Например, для измерения длины l болта использованы метровая линейка с делениями 0, 5 см и линейка с делениями 1 мм (0, 1 см). В обоих случаях получен результат см. Ясно, что в первом случае отклонение найденной длины 3, 5 см от истинной не должно по модулю превышать 0, 5 см, во втором случае – 0, 1 см. Иначе, в первом случае см, во втором случае см. Очевидно, во втором случае измерение выполнено более точно. Отклонение

;

называется относительной погрешностью. Она позволяет оценить точность несопоставимых чисел. Часто используют соотношения:

.

Если известна абсолютная погрешность приближенного значения а, то а называется приближением к А с точностью до . Когда говорят, что надо получить результат с заданной точностью ε, это означает, что его абсолютная погрешность не должна быть больше ε.