Обзор множества действительных чисел

Рассмотрены четыре числовые системы: натуральные числа, ЦОЛЫО числа, рациональные числа и действительные числа, которые нахоДЯТ» ся в следующих отношениях: I

Покажем строение области действительных чисел с ПОМОЩЬЮ 0Л9* дующей граф-схемы (рис. 1.6):

действительные числа

иррациональные числа

дробные числа

рациональные числа

целые числа

отрицательные натуральные числа целые числа и число О

Рис.1.6)(

Дальнейшее расширение области действительных чисел происходи­ло введением комплексных чисел.

*3адания-упражнения

• Сравните пары чисел: а) л/2 и 1, 41; б) (Л)* и (1, 41)~².

• Из множества чисел {2, (2); --5; < Ы4; у; 9, 347561...; 12; л/3; -1, 5(73)}

выделите подмножества: а) натуральных чисел; б) целых чисел; в) ра­циональных чисел; г) иррациональных чисел; д) действительных чисел.

1.5.3.Абсолютная величина действительного числа

Определение 1.16. Абсолютной величиной Действительного числа а назьюается число \а\, которое удовлетворяет условиям:

а для а > О -а для а< 0.

Здесь -а для отрицательного а есть положительное число, следова­тельно, |я|> 0. Геометрическая интерпретация абсолютной величины: абсолютная величина \а\ — это расстояние от точки О начала отсчета до точки с координатой а на координатной прямой.

Пр им ер 1 .7. [< я|=5 означает, что а- 5 или а= -5, т. к. расстояние от начала отсчета до этих точек а, и а₂ равно 5.

Приведем правила выполнения различных операций с абсолютной величиной действительных чисел а и Ъ:

• \~а\ = а ^

Отсюда следует} а-Ь \ ~ \ Ъ-а |.

• ± а < {а | _ч

З.|**| = |а|.|6|, (1.2)

а \а |

ь ⁼ °'³⁾

5.||аН& 11*1«+& 1*М + |*|, (1.4)

Правило 5. известно как неравенство треугольника и обозначает, что абсолютное значение суммы не больше, чем сумма абсолютных значений слагаемых, и не меньше абсолютного значения разности этих абсолютных значений.

Пример 1.8.

I. Неравенство \а\ < Ь при д> 0 понимают как -Ь< а< Ъ (рис. 1.7).

Рис. 1.7. \а\

• Расстояние между двумя числами а и Ъ соответствующих точек на числовой прямой составляет \Ь-а\.

• Для каких х выполняется неравенство |а'-я| < Ь при Ь > О?

На основании определения 1.16:

х-а при х> а а-х при х< а.

Для х > а данному неравенству соответствует х - а < Ь или а< х< а+ Ь. Для х < а исходному неравенству соответствует неравенство а~ х < Ь или а-Ь< х< а. Исходя из этих соображений^исходноенеравенство для любого х будет равносильно неравенству а-Ь < х < а+Ъ (рис. 1.8).

Н- 1-

а-Ь ^а х а+Ь

Рис. 1.8. | х-а\< Ь, Ь> 0

а + \а\! а дляа> 0 а-|я] [0 дляя> 0

2 [о для а< 0 2 (а длиасО.

5. Найти все действительные числа х, для которых выполняется не­равенство:

| х-1 { < } 2х+5 |.

Используя определение 1.16. для а ~ х-\ или а ~ 2х +5рассмотрим три случая:

Случай!, л" > 1. Тогда получим неравенство: Л'~1< 2.x+5, откуда х > -6. Это решение данного неравенства для всех: х > 1.

3~ • 1, 03+ х: 1, 25-1, 005 2.6. 4, (3): 0, 8(3) + _: г^ = 34;

16 24

2.7. 2, 91(6) - -х + 0, 8: 0, 8(6) = 1

₅1„₀, (73)х

: 1, 2 + 0, 08(3) = 0, 5;

0, 08

35 156

29) 50

2.8.

7, 75-

: 2, 4 = 0, 85;

5, 8(3)

-7, 24

2.9. 2-

9--- х > 0, 0(5)

V 30

325- С ⁶»⁵⁶²⁵-²'⁵*)'⁰-⁶

: 6, (6) + 0, 9 = 1-;

2.10.

2.11. 0, 12: -0, 01 = 0, 01; V 0, 1(6))

_2Л2< (46, 2(6)-х)а08^_б. 0, 21-7, 05: 0, 47

₂ 13 3, 375 (108, 1: х) ' ' 0, 23 (14, 208(3) -10, 8(3»

1 - (0, 3125 - 2, 291(6): 12, (2)) • 0, 8 ₌ (х-0, 416): 6, 05-1, 98 ~ '

= 1000;

2.14.

4 >

~-0, 1(3)-х

5 + 3, 2(6): -⁵

0, (428571)

■ 5, 8(3) = —;

2.15. 53

ГГ

[1] 3 ■ 2--1-

[1] 4

Системы счисления