Иррациональные числа

Несмотря на то^что любое рациональное число можно изобразить точкой на числовой прямой, нельзя сказать, что каждой точке этой пря­мой также соответствует рациональное число, то есть на числовой пря­мой есть точки, которым не соответствуют рациональные числа. Эти точки называют " дырами" (пробелами) числовой прямой, которые ука­зывают на проблему их заполнения новыми числами.

Например, не существует рационального числа, квадрат которого равен ^или геометрическая интерпретация этой проблемы: длине диа- гонали" Квадрата со стороной равной 1 на числовой прямой не соответ­ствует рациональная точка (рис. 1.4).

Теорема 1.28. Диаг ональ квадрата несоизмерима с его стороной.

Доказательство. Предположим, что диагональ квадрата соизме-

а

рима сего стороной, то есть существует рациональное число кото­рое является результатом измерения диагонали с помощью его сторо­ны, равной 1. Пусть эта дробь является несократимой. Тогда на ос­новании теоремы Пифагора: ^ ⁼ 2, откуда а²-- 2 Ъ² (*). Из последнего

равенства видим, что а ² делится на 2, значит, и число а делится на 2, то есть а = 2т. Подставим найденное значение а в равенство (*), получим:

4 т²~ 2Ь² или Ъ²— 2 т². Откуда, видим, что Ь² делится на 2, значит, и Ь делится на 2, то есть Ъ ~ 2к. В результате получили, что числа а и Ъ оба

а

делятся на 2, следовательно, дробь — сократимая, что противоречит

Ь

сделанному предположению. Значит, предположение неверно. Тогда верна данная теорема.

Пр и м ер 1.5. Длина окружности радиуса г выражается формулой

Ь-2иг. Если радиус г = —, то длина окружности равна числу л, а это число нерациональное.

Таким образом, имеются нерациональные числа. Пришли к необхо­димости расширения множества рациональных чисел, для того чтобы заполнить " пробелы", имеющиеся в множестве рациональных чисел.

Определение 1.14. Число, выражаемое бесконечной неперио­дической десятичной дробью, называется иррациональным. Мно­жество иррациональных чисел принято обозначать I.

Необходимо отметить, что иррациональные числа получаются не только при извлечении корней из чисел, но и при решении практичес­ких задач, например, при измерении отрезков, площадей, вычисления отношения длины окружности к ее диаметру.

Пр имер 1.6. Числа у[2 = 1, 4142..., 71 = 3, 1415..., 0, 1010010001... есть иррациональные, так как эт и дроби не являются периодическими.

Итак, каждое дробное рациональное число представляет собой ко­нечную или бесконечную десятичную дробь, а каждая бесконечная дробь являегся периодической, в которой после запятой повторяется группа цифр. Напротив, иррациональное число записывается только бесконечной непериодической десятичной дробью.

Присоединив к рациональным числам иррациональные числа, по­лучим множество К действительных чисел.

Объединение множества (? рациональных чисел и множества / ир­рациональных чисел образует множество К действительных чисел:

{, причем /с/г, бо / = 0,

т. е. всякое рациональное число является действительным, всякое иррациональное число также действительное и никакое рациональное число не является иррациональным.

Так как любое рациональное число может быть записано в виде де­сятичной дроби, конечной или бесконечной периодической, а любое иррациональное число — в виде бесконечной непериодической деся­тичной дроби, то действительным числом можно назвать любое число, выражаемое конечной или бесконечной десятичной дробью, т. е.

х = а₀, а₁а₂...а„...,

где а₀ — некоторое целое число, а символ, расположенный справа от запятой, образует дробную часть действительного числа.V.

Введение иррациональных чисел оправдано выполним остью основ­ных законов арифметики, а также необходимостью расширения мето­дов более точных вычислений.

Дальнейшее расширение области рациональных чисел происходит так, что все правила, действительные для рациональных чисел, фор­мально переносятся неизменными на иррациональные числа, а значит, и на все действительные числа. То есть все основные свойства арифме­тических операций множества рациональных чисел выполнимы и для действительных чисел.