Вычисление, оценка и учет систематических погрешностей

Прямым и косвенным измерениям, кроме случайных погрешностей, сопутствуют систематические погрешности. Для их выявления, оценки и учета можно предложить следующее правило (правило 2):

1. Выясняем модель объекта или процесса, которая положена в основу определения данной величины или в основу расчетной формулы.

2. Устанавливаем возможные отклонения от этой модели, обусловленные объектом измерения.

3. Оцениваем систематические погрешности, обусловленные:

а) внешними условиями;

б) инструментом;

в) наблюдателем;

г) отклонениями реального объекта от модели.

Последнее выясняется с помощью вычислений или пробных измерений.

4. Определяется целесообразность корректировки методики измерений или расчетной формулы для уменьшения и учета систематических погрешностей.

Рассмотрим конкретный пример. Пусть требуется определить с помощью штангенциркуля объем тела цилиндрической формы. Для этого воспользуемся выражением

, (5.1)

где V – объем цилиндра;

D – диаметр;

H – высота цилиндра.

Применение правила 2 дает следующее:

1. В основу расчетной формулы положена модель идеального прямого цилиндра.

2. Возможны отклонения от этой модели, обусловленные тем, что основание не круг и цилиндр не прямой.

3. а) если температура и давление не меняются и среда не агрессивная, то форма и размер постоянные;

б) проводим установку прибора на нуль, определяем систематическую исключаемую погрешность прибора. Работа со штангенциркулем по инструкции дает инструментальную погрешность, установленную ГОСТом;

в) в данном случае исследователь может заметно влиять на результат только при отсчете показаний. Следить за тем, чтобы не возникала ошибка из-за параллакса;

г) пробные измерения показывают, что существует незначительная погрешность объема, обусловленная отклонением формы реального цилиндра от формы идеального цилиндра.

4. Мы можем ее либо уменьшить, предложив формулу, учитывающую несовершенства формы цилиндра, либо учесть, включив в погрешность измерений. Это достигается обращением систематической погрешности в случайную. В нашем случае для этого достаточно измерения диаметра и высоты провести в различных точках. Второй путь проще, им чаще и пользуются.

Учтя систематическую погрешность, обусловленную несоответствием модели и реального объекта, мы добились того, что систематическая погрешность равна приборной погрешности. Вклад приборных погрешностей в погрешность косвенного измерения может быть рассчитан по соответствующим формулам (см. рис. 1).

Для прямых измерений правило 2 можно сформулировать короче: Что мы измеряем, что должно быть? Так, определяя величину h, мы измеряем длину цилиндра, а h в формуле – высота цилиндра. Высота и длина цилиндра в общем случае отличаются между собой. Как видим, ответ на поставленный вопрос указывает на возможный источник исключаемой или подающейся учету систематической погрешности. Поэтому наряду с правилом 2 рекомендуется использовать и его модификацию, сформулированную выше в виде вопроса.

Несоответствие методики измерений и модели объекта, положенной в основу расчетной формулы, приводит часто к значительным скрытым и неучтенным систематическим погрешностям. Наглядным примером такой ситуации является определение сопротивления с помощью амперметра и вольтметра. В расчетной формуле

, (5.2)

где I – сила тока, идущего через сопротивление,

Δ φ – напряжение на том же сопротивлении в тот же момент времени.

А измерения проводятся, как правило, по схеме! (рис. 3) или 2 (рис. 4). В первом случае измеряется ток, идущий через сопротивление и вольтметр, во втором случае измеряется напряжение на сопротивлении и амперметре, т.е. I и Δ φ определяются не на одном сопротивлении.

Рис.3. Схема 1. Рис. 4. Схема 2.

Можно предложить три способа уменьшения систематических погрешностей косвенных измерений:

1. Путем подбора приборов или корректировки методики свести до минимума несоответствие методики измерений или реального объекта и модели, положенной в основу расчетной формулы. Например, если в схеме 1 взять вольтметр, сопротивление R_V которого во много раз превосходит исследуемое сопротивление R, то токи через сопротивление и амперметр практически будут равны. И определение сопротивления по этой схеме не будет содержать значительной исключаемой систематической погрешности, т.е. погрешности, сравнимой с приборной.

2. Привести в соответствие расчетную формулу с методикой измерений и объектом исследований. В случае схемы 1 она имеет вид

, (5.3)

где R_V – сопротивление вольтметра.

3. Когда первый и второй способы вызывают сомнение или по каким-либо причинам невозможны, остается одно – изменить методику измерений. Например, сопротивление можно измерить и с помощью моста.

Если уменьшение и оценка систематической погрешности затруднительны, то ее, чтобы как-то учесть, обращают в случайную. Взвешивая груз на левой и правой чашечке весов, мы систематическую погрешность, обусловленную неравноплечностью весов, обращаем в случайную, которую уже можно оценить. Данный прием позволяет получить более реальную точность измерений.