A b c X

рис.46

На рисунку 46 крива y=f(x) – опукла в інтервалі (a, b), і угнута в інтервалі (c, d).

Означення 2. Точка, яка відділяє опуклу частину графіка функції від угнутої називається точкою перегину.

На рис.46 т. М – точка перегину з абсцисою х=b.

Інтервали опуклості і угнутості кривої знаходяться за допомогою слідуючої теореми.

Теорема 1. Нехай y=f(x) має похідні f¢ (x) i f¢ ¢ (x) в даному інтервалі. Тоді крива y=f(x) опукла в цьому інтервалі, якщо f¢ ¢ (x)< 0, i угнута, якщо f¢ ¢ (x)> 0, для всіх х з цього інтервала.

Так, напр., відповідно на рис.1 f¢ ¢ (x)< 0, якщо хÎ (a, b), f¢ ¢ (x)> 0, якщо хÎ (c, d).

Точки перегину знаходяться за наступною теоремою

Теорема 2. (Достатня умова точки перегину). Якщо , ¥ або не існує і , змінює знак при переході через х₀, то х₀ є точкою перегину f(x).

Приклад. Знайти проміжки проміжки опуклості, угнутості та точки перегину функції.

.

Розв’язання. Задана функція визначена для всіх . Знайдемо її похідні

,

.

Щоб знайти інтервали опуклості і угнутості необхідно знайти корені другої похідної, які разом з точками розриву (якщо такі є) розбивають область існування на проміжки.

Якщо на проміжку, то графік угнутий;

Якщо на проміжку, то графік опуклий.

У тих точках, де друга похідна міняє знак, буде точка перегину, за умови, що функція в цій точці неперервна.

Отже, розв’язуємо рівняння

;

на , графік угнутий;

на , графік опуклий;

на , графік угнутий.

В точках і друга похідна міняє знак. Це є точки перегину.

.

Приклади для самостійного розв’язання

Знайти проміжки опуклості, угнутості та точки перегину кривих.

1. .

2. .

3. . 4. . 5. .

6. . 7. .

Відповіді: 1. Опуклість на і на , угнутість на ; точки перегину і . 2. Опуклість на і на , угнутість на і на ; точки перегину , і . 3. Опуклість на і на , угнутість на і на ; точки перегину ; , . 4. Угнутість на і , опуклість на ; точка перегину . 5. Опуклість на і на , угнутість на ; точки перегину і . 6. Опуклість на , угнутість на ; точка перегину . 7. Опуклість на , угнутість на і на ; точка перегину .

7.5. Асимптоти графіка функції

Означення. Пряма (l) називається асимптотою графіка функції (кривої (L)), якщо відстань MN від змінної точки кривої (MÎ L) до прямої прямує до нуля, якщо точка М віддаляється в нескінченність, тобто (див. рис. 47, 48)

Y Y

M

M N

(L) N (L)

(l)

(l) X X

рис.47 рис.48

Асимптоти розрізняють:

1) вертикальні;

2) похилі (окремий їх випадок – горизонтальні).

1. Вертикальні асимптоти. Будемо говорити, що пряма х=а є вертикальною асимптотою графіка функції y=f(x), якщо хоча б одна з односторонніх границь функції дорівнює нескінченості при х®а±0, тобто

, або .

Y

M N

x x=a X

2. Похилі асимптоти. Знаходяться у вигляді y=kx+b, де

зокрема, якщо k=0, то отримуємо горизонтальну асимптоту y=b, де

Приклади. Знайти асимптоти кривих:

1. . 2. .

Розв’язання

1. Із рівняння . Функція існує для .

Вертикальних асимптот функція немає оскільки при і .

Горизонтальних асимптот теж немає, бо .

Знайдемо похилі асимптоти за формулою ,

де .

Знайдемо

;

Знайдемо вільний член

.

Отже, отримали відомі рівняння асимптот гіперболи

.

2. . Дана функція визначена для , де .

Оскільки

,

то пряма є вертикальною асимптотою кривої.

Горизонтальних асимптот крива немає, оскільки

.

Знаходимо похилі асимптоти при і при .

.

.

Отже, існує права похила асимптота .

Знайдемо похилу асимптоту при .

оскільки , то - введемо під корінь

.

.

Отже, - ліва похі\ила асимптота.

На рисунку зображені асимптоти та графік кривої.

Приклади для самостійного розв’язання.