Следовательно, решение вида (5.6) будет таким

Лекция. Балка на упругом основании

Дифференциальное уравнение оси изогнутой балки,

Лежащей на сплошном упругом основании

В инженерной практике часто встречаются балочные элементы конструкций, лежащие на сплошном упругом основании. К таким конструкциям могут быть отнесены шпалы железнодорож­ного пути, ленточные фундаменты зданий, фундаменты плотин, опирающиеся на грунты и др. Кроме того, к таким конструкциям относятся также и рельсы, у которых число опор бесконечно вели­ко, а расстояние между ними мало по сравнению с длиной.

Расчет балки на упругом основании в строгой постановке сво­дится к решению контактной задачи между конструкцией и осно­ванием. Поэтому для решения инженерных задач, связан­ных с расчетом балки применяются приближенные подходы, суть которых заключается в следующем:

1) Предварительно устанавливается зависимость между реактивным отпо­ром и осадкой поверхности основа­ния. Одной из наиболее распростра­ненных гипотез является гипотеза о пропорциональной зависимости меж­ду реакцией и осадкой гипотеза Винклеровского основания.

Рис.2.1

На рис.5.1 показана деформация балки от внешней нагрузки, распределенной по произвольному закону. Реакция со стороны ос­нования в произвольной точке, при соблюдении условий проскальзывания на контак­тной поверхности между подошвой балки и основанием, принимается пропорцио­нальной прогибу:

(2.1)

где r (x) - реакция основания, приходящаяся на единицу длины балки, (Н/м); y (x) - просадка основания; ; b - ширина по­дошвы балки; k ₁ - коэффициент, характеризующий жесткость ос­нования и называемый коэффициентом податливости ос­нования или коэффициентом постели, [Па/м].

Этот коэффициент представляет собой отпор основания, при­ходящийся на 1 м² площади при просадке, равной единице. Знак минус (-) в выражении (2.1) означает, что реакция противоположна направлению просадки.

Значения коэффициента постели k ₁ для некоторых грунтовых и скальных оснований приведены в таблице 2.1.

Таким образом, со стороны основания на балку действует сплошная распределенная нагрузка интенсивностью r (x). Суммар­ная интенсивность распределенной нагрузки, приложенной к балке при произвольном значении x определяется:

, (2.2)

где q (x) - приложенная к балке, заданная распределенная нагрузка (например, вес погонной длины балки).

Таблица 2.1

Значения коэффициента постели k ₁ для различных грунтов

Дифференциальное уравнение изгиба упругой балки в данном случае принимает вид:

, (2.3)

или после подстановки (12.2) в (12.3) получим:

. (2.4)

Физический смысл модели, приводящий к уравнению (2.4), может быть различен. Так, если основание принимать в виде упру­гого полупространства, взамен модели Винклеровского основания, из приближенных решений контактных задач, то коэффициент k имеет вид:

,

где E_o - модуль обшей деформации грунта основания; m - коэффициент Пуассона.

В случае балки постоянного сечения интегрирование уравнения (2.4) не представляет особых затруднений. Вводится обозначение:

;

где b - называется коэффициентом относительной жесткости осно­вания, [1/м].

Тогда дифференциальное уравнение (2.4) принимает вид:

. (2.5)

Решение уравнения (2.5) можно получить общими методами решения дифференциальных уравнений с постоянными коэффици­ентами, и оно имеет следующую структуру:

, (2.6)

где С_j - произвольные постоянные, j = 1, 2, 3, 4; y_j (x) - частное линейно-независимое решение соответствующего (5.5) однородно­го уравнения

, (2.7)

y*(x) - частное решение неоднородного уравнения (2.5), зависящее от характера внешней нагрузки q (x).

Частное решение однородного уравнения (2.7) представляется в виде , подставляя которое в (2.7), получим характе­ристическое уравнение

. (2.8)

Используя формулы Муавра для корней из комплексных чисел найдем четыре корня уравнения (2.8):

; ; ; ,

где i - мнимая единица (i = ).

Следовательно, решение вида (5.6) будет таким

(2.9)

Произвольные постоянные С ₁, С ₂, С ₃ и С ₄ находятся из гранич­ных условий для конкретной задачи, как и при расчете обычной балки.

2.2. Анализ общего решения дифференциального
уравнения изгиба балки на упругом основании

Как нетрудно видеть из (5.9), общее решение включает выра­жения для затухающей и возрастающей гармоник или, иными сло­вами, для двух затухающих гармоник, одна из которых затухает по направлению к правому концу балки, а другая - к левому. Затуха­ние быстрое. Чтобы установить его степень, увели­чим x на . Тогда получим

(2.10)

Анализируя полученный результат, приходим к выводу, что первое слагаемое получило множитель , а вто­рое слагаемое . Таким образом, при переходе к следующей полуволне значение первого слагаемого (2.10) уменьша­ются в 23, 14 раза, а второго слагаемого - увеличивается во столько же раз.

В случае длинной балки члены уравнения, содержащие мно­житель , для правого ее конца становятся очень большими. Так как в действительности там деформации и внутренние силы имеют конечную величину, то коэффициенты С ₃ и С ₄ при членах, содержащих множитель , должны быть очень малыми и для достаточно длинной балки практически обращаться в нуль. В этом случае общее решение упрощается и получает вид

(2.11)

На расстоянии трех полуволн от левого конца балки члены общего решения с постоянными интегрирования С ₁ и С ₂ практически исчезнут. Поэтому балку длиной можно счи­тать бесконечно длинной. Точнее ее можно рассчитывать, как бес­конечно длинную, поскольку уже в середине ее влияние концевых граничных условий будет сказываться очень мало. Практически принимают, что если , то балка принимается бесконечно длинной (бесконечно длинная балка).

Рис.2.2

К общему решению (2.9) надо до­бавить частное решение , зави­сящее от нагрузки . Если нагрузка представляет собой алгебраиче­ский полином от x, то частное реше­ние можно найти в виде полинома той же степени методом неопреде­ленных коэффициентов. В частности, для линейной функции вида (рис.2.2), частное решение уравнения (2.5) имеет вид

. (2.12)

При отсутствии приложенной к бал­ке нагрузки, т.е. при q = 0, момент и по­перечная сила на них равны нулю; этому вполне удов­летворяет частное решение (2.12) и до­бавлять к нему об­щее решение не тре­буется. Следователь­но, (2.12) будет пол­ным решением, и балка не будет изгибаться. Очевидно, что внут­ренние силы в ней везде равны нулю.

Рис. 2.3

Если балка имеет на концах какие-либо закрепления, например опоры (рис.2.3), то в ней появляются изгибающие моменты и кри­визна оси, которые можно определить общим методом нахождения произвольных постоянных общего решения по граничным усло­виям.

2. 3. Расчет бесконечно длинной балки, нагруженной
сосредоточенной силой

Рассмотрим балку бесконечной длины, простирающуюся в области , нагруженную в сечении с абсциссой x сосре­доточенной силой P (рис.5.4). Дифференциальное уравнение изо­гнутой оси балки записывается аналогично (12.4):

, (2.13)

где - единичная функция Дирака.

Общее решение (5.13) записывается аналогично (5.9). Произ­вольные постоянные С ₁, С ₂, С ₃ и С ₄ определяются из граничных условий задачи:

при , ; (2.14)

при , ; . (2.15)

Рис.2.4