Вычисления. Задача 4. Маховик в виде диска массой и радиусом свободно вращается вокруг оси, проходящей через его центр

Ответ: .

Задача 4. Маховик в виде диска массой и радиусом свободно вращается вокруг оси, проходящей через его центр, с частотой

. При торможении маховик останавливается через . Определить тормозящий момент .

Дано: Решение

диск Тормозящий момент находим из основного уравнения

динамики вращательного движения

(1), где - момент инерции диска,

- угловое ускорение вращения.

______________ Момент инерции для диска (согласно таблице) (2).

-? Угловое ускорение по определению , -

-угловая скорость, т.е. (3).

Подставляя (2) и (3) в уравнение (1), для тормозящего момента получаем:

(4).

Проверяем размерность (4)

.

Вычисления

Ответ:

Задача 5. Платформа в виде диска радиусом вращается по инерции с частотой . На краю платформы стоит человек, масса которого . С какой частотой будет вращаться платформа, если человек перейдет в ее центр? Момент инерции платформы . Момент инерции человека рассчитывать как для материальной точки.

Дано:

;

;

;

_________________

Решение.

Человек вместе с платформой составляет замкнутую механическую систему, поэтому момент импульса этой системы должен иметь постоянное значение.

Момент импульса системы в первом случае, когда человек стоял на краю платформы

, (1)

где - угловая скорость вращения платформы и человека в первом случае, - момент инерции человека, - момент инерции платформы.

Момент инерции человека можно определить по формуле:

.

Когда человек перейдет в центр платформы, момент инерции человека станет равным нулю (расстояние до оси вращения ), следовательно, во втором случае момент импульса человека станет равным нулю.

Момент импульса системы во втором случае

,

где - угловая скорость вращения платформы во втором случае.

Запишем закон сохранения импульса:

;

;

;

;

Производим проверку размерности расчетной формулы:

.

Вычисление:

.

Ответ: если человек перейдет в центр платформы, платформа будет вращаться с частотой равной .

Задача 6. На нити длиной 1м висит шар радиусом 5 см, опирающийся на вертикальную стенку. Нить образует со стенкой угол 30 и касается шара в очке С. Определить коэффициент трения шара о стенку.

Дано: Решение

______________

На шар действуют силы: - сила тяжести,

- сила реакции опоры, - сила натяжения нити, - сила трения. Записываем первое условие равновесия (геометрическая сумма всех сил равна нулю): (1).

Проецируем уравнение (1) на оси ОХ и ОУ

ОХ: (2),

ОУ: (3).

Записываем для шара относительно точки С второе условие равновесия (алгебраическая сумма моментов сил равна нулю).

, (4)

где , , - моменты сил, - плечо силы трения, - плечо силы тяжести, - плечо силы реакции опоры. С учетом этих выражений уравнение (4) запишется

, (5)

Известно, что , т.е. (5) можно записать как

(6).

Решая систему уравнений (2), (3) и (6), получим для коэффициента трения

. (7)

Проверяем размерность (7)

.

Вычисления

.

Ответ: .

Задача 7. Верхний конец стержня закреплён, а к нижнему подвешен груз

. Длина стержня 6м, поперечное сечение . Определить напряжение материала стержня, его абсолютное и относительное удлинение, если модуль Юнга .

Дано: Решение

Под действием груза стержень растягивается

и в материале стержня возникает напряжение, которое

можно рассчитать по формуле . В нашем случае

_______________ , т.е. (1).

Так как деформации стержня малы, то выражение

закона Гука имеет вид: , (2)

где - относительное удлинение. Из (2) выражаем относительное удлинение . (3)

Абсолютное удлинение . (4)

Проверяем размерность (3) и (4)

(безразмерная величина), .