Теорема.

Крива у = f (x) тоді і тільки тоді має асимп­тоту y = kx + b, коли існують скінченні границі

3. Горизонтальні асимптоти. Якщо в похилій асимп­тоті у = kх + b функції у = f(x) маємо k = 0, то таку похилу асимпто­ту називають горизонтальною асимптотою функції: у = b.

Для того, щоб пряма у = b була горизонтальною асимп­тотою функції y = f(x), необхідно і достатньо, щоб існувала скінченна границя .

Загальна схема дослідження функції y = f(x)

Перший етап (використання властивостей заданої функції)

1. Область визначення функції y = f(x)	D(f)
2. Парність, непарність і періодичність	f(x)- парна, якщо D(f) – симетрична відносно осі Оу; f(-x) = f(x); f(x)- непарна, якщо D(f) – симетрична відносно початку координат; f(-x) = - f(x); f(x)- періодична, якщо f(x+Т) = f(x)
3. Точки перетину графіка з осями координат	а) з віссю Ох: з рівняння f(x) = 0 знаходять х; б) з віссю Оу: x = 0, знаходять значення у = f(0)
4. Точки розриву. Асимптоти графіка функції у = f(х)	Вертикальні асимптоти – у точках нескінченного розриву 2-го роду функції у = f(х) Похилі асимптоти: y = kx + b,

 

Другий етап (використання похідної першого порядку)

5. Знайти похідну та критичні точки функції у = f(х)	f’(х) f’(х)= 0або f’(х) не існує
6. Проміжки зростання, спадання	f’(х)> 0 – зростає, f’(х)< 0 - спадає
7. Точки екстремуму функції у = f(х)	Якщо f’(х) змінюєзнак при переході через х 0 з «+» на «-», то х 0 = х max, з «-» на «+», то х 0 = х min

 

Третій етап (використання похідної другого порядку)

8. Знайти другу похідну та критичні точки другого роду	f’’(х) f’’(х)= 0або f’’(х) не існує
9. Проміжки опуклості, угнутості	f’’(х)< 0 – функція угнута; f’’(х)> 0 – опукла
10. Точки перегину і значення функції в цих точках	Якщо f’’(х) змінюєзнак при переході через х 0, то х 0 – точка перегину