Задача 7 практика 2

Задача 4.12. Частица массы движется в трехмерном потенциальном поле

где - постоянная (трехмерный гармонический осциллятор). Найдите собственные значения энергии частицы и кратность вырождения -го энергетического уровня.

Решение: Поскольку движение частицы вдоль осей и происходит независимо, то будем искать волновую функцию в виде произведения

где зависит только от координаты , - только от и - только от . Подставляя в уравнение Шредингера (4.6), получаем

Разделив это уравнение на и используя данный в условии задачи вид зависимости , приходим к соотношению

Первое выражение в квадратных скобках в левой части этого равенства является функцией только координаты , второе выражение в квадратных скобках является функцией только координаты , третье - функцией только координаты . Поскольку их сумма равна постоянной величине, то каждое из этих слагаемых также должно равняться постоянной величине

где константы имеют размерность энергии, и удовлетворяют условию . Таким образом, получаем три уравнения для одномерного гармонического осциллятора, решения которых нам уже известны (см. (4.81), (4.83)).

Волновая функция трехмерного гармонического осциллятора представляет собой произведение трех волновых функций для одномерного гармонического осциллятора (4.83) и зависит от трех квантовых чисел , и

Для энергии трехмерного гармонического осциллятора получаем следующее выражение

где ,

Найдем кратность вырождения - го энергетического уровня трехмерного гармонического осциллятора. Для заданного значения кратность вырождения уровня равна числу возможных перестановок трех чисел , и , сумма которых равна . Найдем сначала число перестановок при фиксированном значении . Оно, как легко видеть, равно числу возможных значений (или, что то же самое, ). Число при заданном может меняться в пределах от 0 до , т.е. принимает значение. Следовательно, число перестановок при фиксированном равно . Суммируя это выражение по , находим кратность вырождения -го уровня

Основное состояние трехмерного гармонического осциллятора оказывается невырожденным, . Первое возбужденное состояние имеет кратность вырождения , ему соответствуют тройки квантовых чисел , , .