Примеры интегрирования

Пример 1: а) как будет выглядеть сигнал на выходе интегратора, если на его вход подать ступенчатый сигнал (рис. 2.4а),

б) если R = 1 мОм, С = 0, 1 мкФ и U_вх = 1 В, то чему равно U_вых через 3 мс после t_o.

Решение:

а) записывая входной ступенчатый сигнал как функцию времени, получим: U_вх = U при t ≥ t_o, U_вх = 0 при t < t_o. Проведем интегрирование, используя первое условие.

U_вых = − (1/RC)∙ ∫ U_вхdt = − (1/RC)(Ut).

Т.о., изменение U_вых. во времени представляет собой наклонную прямую с полярностью, противоположной полярности U_вх (рис. 2.4б).

а) б)

Рис. 2.4 – Сигнал на входе (а) и сигнал на выходе интегратора (б).

б) вычислим U_вых интегрированием в пределах от t_o = 0 до t₁ = 3 мс.

мВ.

Отметим, что результат интегрирования выражается в виде

и этим выражением можно всегда пользоваться, когда U_вх. – прямоугольныйимпульс или прямоугольная волна.

Пример 2: а) как будет выглядеть сигнал на выходе интегратора, если на его вход подать импульсы прямоугольной формы (рис. 2.5а).

б) если R = 10 кОм, С = 0, 1 мкФ, U_вх=5 В и f = 1 кГц, то чему равна амплитуда выходных импульсов U_вых.

Решение:

а) так как входной сигнал периодический, то для описания выходного напряжения U_вых достаточно рассмотреть один полный период. Запишем U_вх как функцию времени (рис. 2.5а).

U_вх = 5 В при t₁ < t £ t₂, U_вх = - 5 В при t₂ < t £ t₃

Эту функцию можно интегрировать на каждом из её полупериодов. Для описания выходного сигнала достаточно выяснить его форму и значения U на концах каждого полупериода. Подставив постоянное напряжение в выражение для U_вых, получим:

.

Накопленное напряжение в конце первого полупериода (от t₁ до t₂) равно:

В.

Накопленное напряжение за второй полупериод между t₂ и t₃ равно:

В.

Выходной сигнал показан на рис. 2.5б.

а) б)

Рис. 2.5 – Сигнал на входе (а) и сигнал на выходе интегратора (б).

Пример 3: требуется рассчитать значения R, C, R_p для интегратора с выходной характеристикой с точностью не хуже 2% на частоте f = 20 кГц.

Решение:

а) пусть С = 0, 1 мкФ.

Для интегратора выходное напряжение .

Из условия задачи следует равенство: 5000 = - (1/RC), откуда находим кОм.

б) желательная точность интегратора равна 2%. Если f_раб превышает его частоту среза больше чем в 10 раз, то точность интегратора превысит это значение. Поэтому зададим f_ср = 2 кГц.

в) положим R_p/R = 2000. Тогда R_p = 4 МОм → f = 1/2π R_p С < 2 кГц.

Таким образом, R = 2 кОм, R_p = 4 МОм, С = 0, 1 мкФ.